Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kugeloberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Die Kugeloberfläche berechnest du mit einer einzigen Formel. Du lernst, sie aus Radius oder Durchmesser zu bestimmen und nach dem Radius umzustellen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Oberfläche einer Kugel berechnest du mit O=4\pi r^2, wobei r der Radius ist. Kennst du den Durchmesser d, gilt direkt O=\pi d^2. Eine Kugel mit r=6\,\mathrm{cm} hat zum Beispiel O=144\pi\,\mathrm{cm^2}\approx452{,}39\,\mathrm{cm^2}.
Ein Fußball, eine Seifenblase, die Erde: Sie alle sind ungefähr Kugeln. Wie viel Leder steckt in der Hülle eines Balls? Das beantwortet die Kugeloberfläche. Du berechnest sie mit O=4\pi r^2. Kennst du stattdessen den Durchmesser d, kannst du direkt O=\pi d^2 verwenden. Hier lernst du beide Wege, stellst die Formel nach dem Radius um und siehst, wie stark die Oberfläche beim Vergrößern wächst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten. Alle Punkte ihrer Oberfläche haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius r. Der Durchmesser d verläuft durch den Mittelpunkt von einer Seite der Kugel zur gegenüberliegenden. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d=2r. Umgekehrt gilt r=\frac{d}{2}.
Definition
Kugeloberfläche
Die Kugeloberfläche ist die gesamte äußere Fläche der Kugel. Ihr Flächeninhalt heißt O und wird in Quadrateinheiten wie cm² oder m² angegeben.
Merke: Radius und Durchmesser sind Längen. Die Oberfläche ist eine Fläche. Deshalb muss ihre Einheit quadriert sein.
Teste dich
Für eine Kugel mit Radius r gilt O=4\pi r^2. Die Kugeloberfläche ist also viermal so groß wie die Fläche eines Kreises mit demselben Radius. Gehe in dieser Reihenfolge vor: Quadriere den Radius samt Einheit. Multipliziere mit 4 und \pi. Runde erst am Ende, wenn eine Näherung verlangt ist. Prüfe, ob das Ergebnis eine Quadrateinheit hat.
Beispiel: Kugel mit r=6\,\mathrm{cm}
- 1(6\,\mathrm{cm})^2=36\,\mathrm{cm^2}
- 2O=4\pi\cdot36\,\mathrm{cm^2}=144\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3O\approx452{,}39\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Ist der Durchmesser gegeben, kannst du zuerst r=d:2 berechnen. Schneller geht es mit der gleichwertigen Formel O=\pi d^2. Denn aus r=\frac{d}{2} folgt O=4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=4\pi\cdot\frac{d^2}{4}=\pi d^2.
Beispiel: Kugel mit d=8\,\mathrm{m}
- 1O=\pi\cdot(8\,\mathrm{m})^2
- 2O=64\pi\,\mathrm{m^2}\approx201{,}06\,\mathrm{m^2}
Merke: O=4\pi r^2 braucht den Radius, O=\pi d^2 den Durchmesser. Setze nie den Durchmesser in die Radiusformel ein.
Teste dich
Ist O gegeben, stellst du O=4\pi r^2 nach r um. Teile zuerst durch 4\pi: r^2=\frac{O}{4\pi}. Ziehe dann die Quadratwurzel: r=\sqrt{\frac{O}{4\pi}}. Für eine Länge nimmst du nur die nichtnegative Lösung. Die Oberfläche hängt vom Quadrat des Radius ab. Wird der Radius mit dem Faktor k vervielfacht, wächst die Oberfläche mit dem Faktor k^2.
Beispiel: Radius bei O=100\pi\,\mathrm{cm^2}
- 1r^2=\frac{100\pi\,\mathrm{cm^2}}{4\pi}=25\,\mathrm{cm^2}
- 2r=\sqrt{25\,\mathrm{cm^2}}=5\,\mathrm{cm}
Merke: Doppelter Radius bedeutet vierfache Oberfläche. Dreifacher Radius bedeutet neunfache Oberfläche.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Oberfläche Kugel
Radius und Durchmesser
d=2r und r=\frac{d}{2}.
Radius gegeben
O=4\pi r^2.
Durchmesser gegeben
O=\pi d^2.
Oberfläche gegeben
r=\sqrt{\frac{O}{4\pi}}.
Größenänderung
Der Radiusfaktor wird quadriert.
Ergebniskontrolle
positive Zahl mit Quadrateinheit.
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Die Erde ist ungefähr eine Kugel mit dem Radius 6.371 km. Wie groß ist ihre Oberfläche?
- 1O=4\pi r^2
- 2r² = (6.371 km)² = 40.589.641 km²
- 3O = 4π · 40.589.641 km² ≈ 510.064.472 km²
- 4Die Erdoberfläche ist also ungefähr 510 Millionen km² groß.
Fehler finden
Oberfläche einer Kugel mit d=10\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2In O=4\pi r^2 steht der Radius: r=10\,\mathrm{cm}:2=5\,\mathrm{cm}. Richtig ist O=4\pi\cdot25\,\mathrm{cm^2}=100\pi\,\mathrm{cm^2}\approx314{,}16\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei der Kugeloberfläche wird der Radius . Ist der Durchmesser gegeben, gilt . Verdoppelst du den Radius, wird die Oberfläche so groß.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback