Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kegeloberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Die Kegeloberfläche besteht aus einem Kreis und einem Mantel. Du lernst die Formel, findest die Mantellinie mit Pythagoras und vermeidest typische Fehler.
0 von 9 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Oberfläche eines geraden Kreiskegels ist die Summe aus Grundfläche und Mantelfläche: O = \pi r^2 + \pi r s. Dabei ist r der Radius und s die schräge Mantellinie. Ist nur die Höhe h gegeben, berechnest du zuerst s = \sqrt{r^2 + h^2}.
Eine Eistüte, ein Partyhut, eine Turmspitze: Sie alle haben die Form eines Kegels. Die Oberfläche eines geraden Kreiskegels besteht aus Grundfläche und Mantelfläche. Du berechnest sie mit O = G + M = \pi r^2 + \pi r s. Hier lernst du, woher die Mantelformel kommt, wie du mit Radius und Mantellinie rechnest und was du tust, wenn statt der Mantellinie die Höhe gegeben ist.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Schneidest du einen geraden Kreiskegel an einer Mantellinie auf und legst ihn flach hin, besteht sein Netz aus einem Kreis und einem Kreisausschnitt. Die gesamte äußere Fläche ist O = G + M = \pi r^2 + \pi r s. Warum gilt M = \pi r s? Der Bogen des abgewickelten Mantels ist genauso lang wie der Umfang der Grundfläche, also 2\pi r. Ein ganzer Kreis mit Radius s hätte den Umfang 2\pi s. Der Mantel ist also der Anteil \frac{r}{s} dieses Kreises: M = \frac{r}{s}\cdot \pi s^2 = \pi r s. Die Formeln gelten für einen geraden Kreiskegel: Seine Grundfläche ist ein Kreis, und die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt.
Definition
Grundfläche und Mantelfläche
Die Grundfläche G = \pi r^2 ist der Kreis am Boden. Die Mantelfläche M = \pi r s ist die gekrümmte Seitenfläche. Abgewickelt ist sie ein Kreisausschnitt, dessen Radius die schräge Mantellinie s ist.
Merke: Bei der Oberfläche addierst du eine Grundfläche und eine Mantelfläche. Das Ergebnis hat immer eine Flächeneinheit wie cm².
Teste dich
Sind r und s gegeben, gehst du in drei Schritten vor: Berechne G = \pi r^2. Berechne M = \pi r s. Addiere O = G + M. Rechne am besten zuerst exakt mit \pi und runde erst ganz am Ende.
Beispiel: Kegel mit r = 3\,\mathrm{cm} und s = 8\,\mathrm{cm}
- 1G = \pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2 = 9\pi\,\mathrm{cm^2}
- 2M = \pi\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot8\,\mathrm{cm} = 24\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3O = 9\pi\,\mathrm{cm^2} + 24\pi\,\mathrm{cm^2} = 33\pi\,\mathrm{cm^2}
- 4O \approx 103{,}7\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Die senkrechte Höhe h führt von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche. Die Mantellinie s führt schräg von der Spitze zum Rand. Im Schnittbild bilden r, h und s ein rechtwinkliges Dreieck, und s ist seine Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt s^2 = r^2 + h^2, also s = \sqrt{r^2 + h^2}. Die Mantellinie ist deshalb immer länger als die Höhe.
Beispiel: Kegel mit r = 4\,\mathrm{cm} und h = 3\,\mathrm{cm}
- 1s = \sqrt{(4\,\mathrm{cm})^2 + (3\,\mathrm{cm})^2} = \sqrt{25\,\mathrm{cm^2}} = 5\,\mathrm{cm}
- 2G = \pi\cdot4^2\,\mathrm{cm^2} = 16\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3M = \pi\cdot4\cdot5\,\mathrm{cm^2} = 20\pi\,\mathrm{cm^2}
- 4O = 16\pi\,\mathrm{cm^2} + 20\pi\,\mathrm{cm^2} = 36\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 113{,}1\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Prüfe vor dem Einsetzen vier Dinge. Ist der Radius gegeben oder der Durchmesser? Brauchst du die Höhe oder die Mantellinie? Haben alle Längen dieselbe Einheit? Und steht am Ende eine Flächeneinheit? So fängst du die meisten Fehler ab, bevor du rechnest.
| Frage | Worauf du achtest |
|---|---|
| Radius oder Durchmesser? | Ist d gegeben, gilt r = \frac{d}{2}. |
| Höhe oder Mantellinie? | In M = \pi r s brauchst du s, nicht h. |
| Gleiche Längeneinheit? | Alle Längen vorher in dieselbe Einheit umwandeln. |
| Flächeneinheit? | Die Oberfläche steht zum Beispiel in cm² oder m². |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Oberfläche Kegel
Grundfläche
G = \pi r^2, ein Kreis.
Mantelfläche
M = \pi r s, ein Kreisausschnitt.
Gesamtfläche
O = G + M = \pi r^2 + \pi r s.
Mantellinie fehlt
s = \sqrt{r^2 + h^2} mit Pythagoras.
Vor dem Rechnen
Radius statt Durchmesser, gleiche Einheiten, am Ende eine Flächeneinheit.
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Oberfläche eines Kegels mit d = 16\,\mathrm{cm} und h = 15\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r = \frac{16\,\mathrm{cm}}{2} = 8\,\mathrm{cm}
- 2Mantellinie: s = \sqrt{8^2 + 15^2}\,\mathrm{cm} = \sqrt{289}\,\mathrm{cm} = 17\,\mathrm{cm}
- 3G = \pi\cdot8^2\,\mathrm{cm^2} = 64\pi\,\mathrm{cm^2}
- 4M = \pi\cdot8\cdot17\,\mathrm{cm^2} = 136\pi\,\mathrm{cm^2}
- 5O = 64\pi\,\mathrm{cm^2} + 136\pi\,\mathrm{cm^2} = 200\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 628{,}3\,\mathrm{cm^2}
Fehler finden
Oberfläche eines Kegels mit r = 9\,\mathrm{cm} und h = 12\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2In M = \pi r s gehört die Mantellinie: s = \sqrt{9^2 + 12^2}\,\mathrm{cm} = 15\,\mathrm{cm}. Also M = 135\pi\,\mathrm{cm^2} und O = 216\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 678{,}6\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für die Grundfläche quadrierst du den . Für die Mantelfläche brauchst du die . Bei einem Durchmesser von 10 cm ist der Radius .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback