Logarithmusgesetze: Regeln und Übungen

Ein Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, damit das Argument entsteht? Beispiel: 2^5=32 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2(32)=5. Für einen reellen Logarithmus gelten drei Bedingungen: Die Basis ist positiv: a>0. Die Basis ist nicht 1: a\neq 1. Das Argument ist positiv: b>0. Zwei wichtige Sonderfälle folgen direkt aus den Potenzen a^0=1 und a^1=a: \log_a(1)=0, \qquad \log_a(a)=1. Schau zuerst auf die Rechenoperation im Argument des Logarithmus. Sie bestimmt das Gesetz. Dabei bleibt die Basis a unverändert. Alle vorkommenden Argumente müssen positiv sein. Produktregel: \log_a(PQ)=\log_a(P)+\log_a(Q) Quotientenregel: \log_a\left(\frac{P}{Q}\right)=\log_a(P)-\log_a(Q) Potenzregel: \log_a(P^r)=r\log_a(P)

Eine Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten: \sqrt[n]{P}=P^{1/n}. Setzt du dies in die Potenzregel ein, erhältst du die Wurzelregel: \log_a\left(\sqrt[n]{P}\right)=\log_a(P^{1/n})=\frac{1}{n}\log_a(P).

Bei einem verschachtelten Ausdruck arbeitest du von der äußeren Struktur nach innen. Bei einem Bruch trennst du zuerst Zähler und Nenner. Danach zerlegst du Produkte und ziehst zuletzt Exponenten nach vorn.

Manche Taschenrechner bieten nur \log zur Basis 10 und \ln zur Basis e an. Mit dem Basiswechsel kannst du trotzdem Logarithmen zu anderen Basen berechnen: \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}. Zähler und Nenner müssen dabei dieselbe neue Basis b besitzen. Der Basiswechsel ist keine Anwendung der Quotientenregel. Bei \frac{\ln(7)}{\ln(2)} werden zwei Logarithmuswerte dividiert. Dagegen bedeutet \ln(7/2)=\ln(7)-\ln(2), dass ein Quotient im Argument zerlegt wird. Eine Summe ist kein Produkt: Die Produktregel erlaubt \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y). Daraus folgt nicht \log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y). Für eine Summe im Argument gibt es kein entsprechendes Logarithmusgesetz. Die Basen müssen zusammenpassen: Du darfst \log_a(x)+\log_a(y) zu \log_a(xy) zusammenfassen. Bei unterschiedlichen Basen ist diese Umformung nicht erlaubt. Beim Nenner gilt das Minus für alle Faktoren: Aus \log_a\left(\frac{x}{yz}\right) wird \log_a(x)-\log_a(y)-\log_a(z). Wer die Zwischenklammer weglässt, verliert leicht ein Minuszeichen. Die Bedingungen gelten auch nach dem Umformen: Ein formal umgeformter Ausdruck ist nur dort gültig, wo alle beteiligten Logarithmen definiert sind. Bei reellen Logarithmen müssen ihre Argumente positiv sein.