Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Linearfaktorzerlegung: Nullstellen sicher nutzen
Du lernst, ein Polynom über seine Nullstellen als Produkt von Linearfaktoren zu schreiben, auch bei höherem Grad, und die Zerlegung zu prüfen.
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Kurz gesagt
Bei der Linearfaktorzerlegung schreibst du ein Polynom als Produkt aus dem Leitkoeffizienten und Linearfaktoren. Zu jeder reellen Nullstelle x_i gehört der Faktor (x-x_i). Beispiel: 2x^2-4x-16=2(x-4)(x+2).
Bei der Linearfaktorzerlegung schreibst du ein Polynom als Produkt. Zu jeder reellen Nullstelle x_i gehört der Linearfaktor (x-x_i). Dadurch kannst du Nullstellen direkt ablesen, Polynome untersuchen und gemeinsame Faktoren in Bruchtermen erkennen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die wichtigste Zuordnung lautet: x_i \longleftrightarrow (x-x_i) Achte besonders auf negative Nullstellen: Aus x_i=3 wird (x-3). Aus x_i=-1 wird (x-(-1))=(x+1).
Definition
Linearfaktor
Ein Linearfaktor ist ein Faktor der Form (x-x_i). Setzt du x=x_i ein, wird dieser Faktor null. Deshalb ist x_i eine Nullstelle des Produkts.
Beispiel: Nullstellen -1 und -3, Leitkoeffizient 1
- 1Faktoren: (x+1) und (x+3)
- 2f(x)=(x+1)(x+3)
- 3Probe: (x+1)(x+3)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3
Merke: Im Faktor steht immer x minus Nullstelle. Ist die Nullstelle negativ, entsteht deshalb ein Pluszeichen.
Teste dich
Für ein quadratisches Polynom mit den reellen Nullstellen x_1 und x_2 gilt: f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) Dabei ist a der Leitkoeffizient, also der Faktor vor x^2 in der Normalform. Gehe in fünf Schritten vor: Bestimme den Leitkoeffizienten a. Berechne die Nullstellen. Bilde zu jeder Nullstelle den Faktor (x-x_i). Setze a und die Linearfaktoren zusammen. Multipliziere zur Probe aus. Vergiss den Vorfaktor nicht: 2x^2+3x+1=2(x+0{,}5)(x+1), nicht nur (x+0{,}5)(x+1). Doppelte oder fehlende reelle Nullstelle: Hat ein quadratisches Polynom nur eine doppelte Nullstelle x_1, tritt derselbe Faktor zweimal auf: f(x)=a(x-x_1)^2. Hat es keine reelle Nullstelle, ist im Bereich der reellen Zahlen keine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren möglich.
Beispiel: f(x)=2x^2-4x-16 zerlegen
- 1Leitkoeffizient: a=2
- 2Nullstellen: f(x)=0 durch 2 teilen, also x^2-2x-8=0
- 3p-q-Formel mit p=-2 und q=-8: x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+8}
- 4\sqrt{1+8}=3, also x_1=1+3=4 und x_2=1-3=-2
- 5Die Faktoren sind (x-4) und (x+2).
- 6f(x)=2(x-4)(x+2)
- 7Probe: 2(x-4)(x+2)=2(x^2-2x-8)=2x^2-4x-16
Teste dich
Bei einem Polynom dritten oder höheren Grades suchst du die Nullstellen schrittweise. Zuerst klammerst du gemeinsame Faktoren aus. Eine gefundene Nullstelle N liefert den Faktor (x-N). Die Division durch diesen Faktor senkt den Grad des Polynoms um 1. Ist N wirklich eine Nullstelle, bleibt bei der Polynomdivision kein Rest. Manchmal kannst du gleich eine Potenz von x ausklammern: x^3-6x^2+5x=x(x^2-6x+5)=x(x-5)(x-1) Der ausgeklammerte Faktor x zeigt sofort die Nullstelle 0. Kommt eine Nullstelle mehrfach vor, steht ihr Faktor mit einem Exponenten da. Bleibt ein Restpolynom ohne reelle Nullstellen übrig, ist die Zerlegung im Bereich der reellen Zahlen beendet.
Beispiel: f(x)=x^3-7x^2+14x-8 zerlegen
- 1Probieren: f(1)=1-7+14-8=0, also ist (x-1) ein Faktor.
- 2Polynomdivision: (x^3-7x^2+14x-8):(x-1)=x^2-6x+8
- 3Restpolynom: x^2-6x+8=(x-2)(x-4)
- 4f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)
Beispiel: f(x)=2x^4+12x^3+16x^2-12x-18 zerlegen
- 1Leitkoeffizient 2 ausklammern: f(x)=2(x^4+6x^3+8x^2-6x-9)
- 2Die Nullstellen 1 und -1 nacheinander abspalten.
- 3Übrig bleibt x^2+6x+9=(x+3)^2.
- 4f(x)=2(x+3)^2(x+1)(x-1)
- 5Der Exponent 2 zeigt: -3 ist eine doppelte Nullstelle.
Teste dich
Eine Funktion aus Nullstellen aufbauen: Sind die Nullstellen -5 und 1 gegeben und soll der Leitkoeffizient 1 sein, erhältst du f(x)=(x+5)(x-1)=x^2+4x-5. Die Nullstellen allein legen den Vorfaktor nicht fest. Ohne weitere Angabe wählst du hier 1. Bruchterme kürzen: In Summen darfst du nicht einzelne Summanden kürzen. Zerlege zuerst Zähler und Nenner in Produkte. Dann siehst du gemeinsame Faktoren. Die Einschränkungen des ursprünglichen Terms bleiben dabei erhalten. Probe: Multipliziere die Produktform aus. Erst dann weißt du sicher, dass alle Faktoren, Vorzeichen und der Vorfaktor stimmen.
Beispiel: \frac{x^2+4x-5}{x^2+x-2} kürzen
- 1Zähler: x^2+4x-5=(x+5)(x-1)
- 2Nenner: x^2+x-2=(x-1)(x+2)
- 3Gemeinsamer Faktor (x-1): \frac{(x+5)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x+5}{x+2}
- 4Ausgeschlossen bleiben x=1 und x=-2, denn dort wird der ursprüngliche Nenner null.
Merke: Kürzen ist nur bei gemeinsamen Faktoren erlaubt, nicht innerhalb von Summen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Linearfaktorzerlegung
Grundregel
Zur Nullstelle x_i gehört der Faktor (x-x_i)
Vorfaktor
Der Leitkoeffizient a bleibt erhalten
Quadratisch
f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
Höherer Grad
Faktoren schrittweise per Polynomdivision abspalten
Doppelte Nullstelle
Ihr Faktor steht im Quadrat
Probe
Ausmultiplizieren und mit der Normalform vergleichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f(x)=3x^2-3x-18 in Linearfaktoren zerlegen
- 1Leitkoeffizient: a=3
- 2f(x)=0 durch 3 teilen: x^2-x-6=0
- 3p-q-Formel: x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+6}
- 4\sqrt{\frac{1}{4}+6}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}
- 5x_1=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3 und x_2=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2
- 6f(x)=3(x-3)(x+2)
- 7Probe: 3(x-3)(x+2)=3(x^2-x-6)=3x^2-3x-18
Fehler finden
Zerlege f(x)=x^2+2x-15 in Linearfaktoren. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Zur Nullstelle -5 gehört der Faktor (x-(-5))=(x+5). Richtig ist f(x)=(x-3)(x+5).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zur Nullstelle -2 gehört der Faktor . Der Leitkoeffizient bleibt als erhalten. Eine doppelte Nullstelle erzeugt einen Linearfaktor.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback