Mathematik · Klasse 5–7 · aktualisiert
Platonische Körper: Die fünf Formen verstehen
Es gibt genau fünf perfekt regelmäßige Körper. Du lernst, sie zu erkennen, zu unterscheiden, zu begründen, warum es nur fünf sind, und sie zu berechnen.
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Kurz gesagt
Platonische Körper sind konvexe Körper, deren Flächen alle gleich große regelmäßige Vielecke sind und an deren Ecken immer gleich viele Flächen zusammentreffen. Es gibt genau fünf: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.
Nimm einen Spielwürfel in die Hand: Alle sechs Flächen sind gleich große Quadrate, und an jeder Ecke treffen drei davon zusammen. So perfekt regelmäßig sind nur wenige Körper. Man nennt sie platonische Körper, und es gibt genau fünf davon. Hier lernst du, woran du sie erkennst, warum es nicht mehr gibt und wie du Oberfläche und Volumen berechnest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht. Kugeln und Kegel sind keine Polyeder, weil sie gekrümmte Flächen haben. Konvex bedeutet: Der Körper hat keine nach innen springenden Ecken oder Kanten. Verbindest du zwei Punkte im Inneren, liegt auch die ganze Verbindungsstrecke im Körper. Eine quadratische Pyramide ist nicht platonisch: Ihre Grundfläche ist ein Quadrat, ihre Seitenflächen sind Dreiecke. Die Flächen sind also nicht alle kongruent.
Definition
Platonischer Körper
Ein platonischer Körper ist ein konvexes Polyeder, dessen Flächen kongruente regelmäßige Vielecke sind. Kongruent bedeutet deckungsgleich. Regelmäßig bedeutet: Alle Seiten und alle Innenwinkel eines Vielecks sind gleich groß. Außerdem treffen an jeder Ecke gleich viele Flächen zusammen.
Merke: Gleiche Kantenlängen allein reichen nicht. Entscheidend sind kongruente regelmäßige Flächen, dieselbe Anordnung an jeder Ecke und die Konvexität.
Teste dich
Die Namen verraten die Zahl der Flächen: „tetra“ heißt vier, „hexa“ sechs, „okta“ acht, „dodeka“ zwölf und „ikosa“ zwanzig. Drei Körper bestehen aus gleichseitigen Dreiecken. Du unterscheidest sie daran, wie viele Dreiecke an einer Ecke zusammentreffen: drei beim Tetraeder, vier beim Oktaeder, fünf beim Ikosaeder. Für alle fünf gilt die eulersche Polyederformel E - K + F = 2 mit E Ecken, K Kanten und F Flächen. Beim Oktaeder: 6 − 12 + 8 = 2. Verbindest du die Mittelpunkte benachbarter Flächen, entsteht innen der Dualkörper. Dabei tauschen Ecken und Flächen ihre Rollen, die Kantenzahl bleibt gleich. Dualpaare sind Würfel und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
| Körper | Flächenform | Ecken | Kanten | Flächen | Flächen je Ecke |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraeder | gleichseitiges Dreieck | 4 | 6 | 4 | 3 |
| Würfel (Hexaeder) | Quadrat | 8 | 12 | 6 | 3 |
| Oktaeder | gleichseitiges Dreieck | 6 | 12 | 8 | 4 |
| Dodekaeder | regelmäßiges Fünfeck | 20 | 30 | 12 | 3 |
| Ikosaeder | gleichseitiges Dreieck | 12 | 30 | 20 | 5 |
Beispiel: Welcher Körper ist das?
- 1Gegeben: 8 gleichseitige Dreiecke, an jeder Ecke treffen 4 zusammen
- 2Tabelle: Das ist das Oktaeder.
- 3Es hat 6 Ecken und 12 Kanten.
- 4Probe mit Euler: 6 − 12 + 8 = 2
Teste dich
An einer räumlichen Ecke treffen mindestens drei Flächen zusammen. Ihre Innenwinkel müssen zusammen weniger als 360° ergeben. Bei genau 360° liegen die Flächen flach in einer Ebene. Gleichseitige Dreiecke haben 60°, Quadrate 90°, regelmäßige Fünfecke 108°. Regelmäßige Sechsecke haben 120°, schon drei ergeben 360°. Vielecke mit noch mehr Ecken haben noch größere Innenwinkel und scheiden ebenfalls aus. So bleiben höchstens fünf Möglichkeiten für eine Ecke. Zu jeder davon gibt es einen geschlossenen Körper, also existieren genau fünf platonische Körper.
| Flächen an einer Ecke | Winkelsumme | Ergebnis |
|---|---|---|
| 3 Dreiecke | 3 · 60° = 180° | Tetraeder |
| 4 Dreiecke | 4 · 60° = 240° | Oktaeder |
| 5 Dreiecke | 5 · 60° = 300° | Ikosaeder |
| 6 Dreiecke | 6 · 60° = 360° | eben, keine Ecke |
| 3 Quadrate | 3 · 90° = 270° | Würfel |
| 4 Quadrate | 4 · 90° = 360° | eben, keine Ecke |
| 3 Fünfecke | 3 · 108° = 324° | Dodekaeder |
| 3 Sechsecke | 3 · 120° = 360° | eben, keine Ecke |
Merke: Für eine räumliche Ecke brauchst du mindestens drei Flächen und eine Winkelsumme unter 360°.
Teste dich
Alle Kanten eines platonischen Körpers haben dieselbe Länge a. Die Oberfläche O gibst du in Quadrateinheiten an, zum Beispiel cm², das Volumen V in Kubikeinheiten, zum Beispiel cm³. Gehe in vier Schritten vor: Bestimme den Körper und die gesuchte Größe. Wähle die passende Formel. Setze die Kantenlänge mit Einheit ein. Prüfe Einheit und Plausibilität. Die Formeln mit Wurzeln musst du nicht herleiten: Du liest sie aus der Tabelle ab, und den Näherungswert, etwa √3 ≈ 1,73, liefert der Taschenrechner. Beim Würfel mit a = 3 cm gilt zum Beispiel O = 6 \cdot (3\,\mathrm{cm})^2 = 54\,\mathrm{cm}^2 und V = (3\,\mathrm{cm})^3 = 27\,\mathrm{cm}^3.
| Körper | Oberfläche O | Volumen V |
|---|---|---|
| Tetraeder | \sqrt{3}\,a^2 | \frac{\sqrt{2}}{12}\,a^3 |
| Würfel | 6a^2 | a^3 |
| Oktaeder | 2\sqrt{3}\,a^2 | \frac{\sqrt{2}}{3}\,a^3 |
| Dodekaeder | 3\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\,a^2 | \frac{15 + 7\sqrt{5}}{4}\,a^3 |
| Ikosaeder | 5\sqrt{3}\,a^2 | \frac{5(3 + \sqrt{5})}{12}\,a^3 |
Beispiel: Oberfläche eines Oktaeders mit a = 17 cm
- 1Formel: O = 2\sqrt{3}\,a^2
- 2(17\,\mathrm{cm})^2 = 289\,\mathrm{cm}^2
- 3O = 2\sqrt{3} \cdot 289\,\mathrm{cm}^2 = 578\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2
- 4Einheit cm² passt, denn gesucht war eine Fläche.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Platonische Körper
Eigenschaften
konvex, kongruente regelmäßige Flächen, gleiche Anordnung an jeder Ecke
Fünf Formen
Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
Begründung
mindestens drei Flächen je Ecke, Winkelsumme unter 360°
Berechnungen
Oberfläche mit a^2, Volumen mit a^3
Dualität
Ecken und Flächen tauschen, die Kantenzahl bleibt
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Volumen eines Tetraeders mit a = 6 cm
- 1Körper: Tetraeder, gesucht: Volumen
- 2Formel: V = \frac{\sqrt{2}}{12}\,a^3
- 3(6\,\mathrm{cm})^3 = 216\,\mathrm{cm}^3
- 4V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 216\,\mathrm{cm}^3 = 18\sqrt{2}\,\mathrm{cm}^3
- 5V \approx 25{,}46\,\mathrm{cm}^3, Einheit cm³ passt zum Volumen.
Fehler finden
Oberfläche eines Oktaeders mit a = 5 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Kantenlänge wurde nicht quadriert. Richtig ist O = 2\sqrt{3} \cdot (5\,\mathrm{cm})^2 = 50\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2 \approx 86{,}60\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein platonischer Körper besteht aus regelmäßigen Vielecken. An einer Ecke müssen die Innenwinkel zusammen als 360° ergeben. Es gibt genau platonische Körper.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback