Mathematik · Klasse 5–10 · aktualisiert
Median berechnen, verstehen und deuten
Der Median ist die Mitte einer sortierten Datenreihe. Du lernst, ihn bei gerader und ungerader Anzahl zu bestimmen und wann er besser passt als der Mittelwert.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Median (Zentralwert) ist der Wert in der Mitte einer der Größe nach sortierten Datenreihe. Bei ungerader Anzahl liest du den mittleren Wert ab, bei gerader Anzahl mittelst du die beiden mittleren Werte: Für 5, 8, 10, 12 ist der Median (8 + 10) : 2 = 9.
Der Median oder Zentralwert ist die Mitte einer geordneten Datenreihe. Mindestens die Hälfte der Werte ist nicht größer und mindestens die Hälfte nicht kleiner als der Median. Um ihn zu finden, musst du deshalb zuerst sortieren.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine geordnete Reihe von sieben Messwerten vor: 1, 3, 3, 5, 7, 8, 10. Der vierte Wert 5 steht genau in der Mitte. Links und rechts davon liegen jeweils drei Beobachtungen. Daher ist 5 der Median. Der Median betrachtet also zuerst die Position eines Werts, nicht seinen Abstand zu den anderen Werten.
Definition
Median
Der Median ist ein Lagemaß: Er beschreibt die zentrale Lage geordneter Daten über ihre Rangplätze. Wiederholte Werte zählen dabei jeweils als eigene Beobachtung.
Merke: Ohne Sortieren keine sichere Mitte: Ordne die Daten immer zuerst von klein nach groß.
Teste dich
Gehe immer gleich vor: Sortiere alle Werte aufsteigend und zähle sie. Ihre Anzahl heißt n. Bei ungeradem n gibt es genau eine mittlere Position, nämlich \frac{n+1}{2}. Bei geradem n gibt es zwei mittlere Positionen, \frac{n}{2} und \frac{n}{2}+1. Für Zahlenwerte nimmst du schulüblich ihr arithmetisches Mittel: \tilde{x}=\frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2} Lies am Ende den Datenwert ab, nicht die Positionsnummer, und prüfe, ob das Ergebnis wirklich in der Mitte der geordneten Reihe liegt.
Beispiel: Median von 4, 9, 8, 7, 12, 4, 16, 1, 2
- 1Sortiert: 1, 2, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 16
- 2n=9 ist ungerade.
- 3Mittlere Position: (9 + 1) : 2 = 5
- 4Der fünfte Wert ist 7, also ist der Median 7.
Beispiel: Median von 5, 12, 29, 17, 12, 8, 10, 8
- 1Sortiert: 5, 8, 8, 10, 12, 12, 17, 29
- 2n=8 ist gerade: Die Mitte liegt zwischen dem 4. und dem 5. Wert, also 10 und 12.
- 3\tilde{x}=\frac{10+12}{2}=11
- 411 kommt in der Reihe gar nicht vor. Das ist beim Median erlaubt.
Teste dich
Ein Ausreißer ist ein Wert, der weit von den übrigen Werten entfernt liegt. Er steht in der geordneten Reihe am Rand und verändert die mittlere Rangposition meist nicht. Das arithmetische Mittel reagiert anders: Dafür werden alle Werte addiert. Deshalb kann ein einzelner extremer Wert den Mittelwert stark verschieben. Robust heißt aber nicht, dass sich der Median nie ändert. Einzelne extreme Randwerte beeinflussen ihn meist deutlich weniger als den Mittelwert. Ändert sich die Reihenfolge in der Mitte, ändert sich auch der Median.
Beispiel: Median und Mittelwert mit einem Ausreißer
- 1Geordnet: 4, 9, 13, 14, 16, 17, 19, 21, 1490
- 2n=9, die Mitte liegt an Position 5: Der Median ist 16.
- 3Summe: 4 + 9 + 13 + 14 + 16 + 17 + 19 + 21 + 1490 = 1603
- 4Mittelwert: 1603 : 9 ≈ 178,1
- 5Der Mittelwert liegt über acht der neun Werte, der Median beschreibt die Mitte gut.
Teste dich
Median, Mittelwert und Modus beantworten verschiedene Fragen. Für T-Shirt-Farben wie blau, rot und grün kannst du einen Modus bestimmen. Einen Median gibt es nicht, weil Farben keine natürliche Reihenfolge besitzen. Geordnete Stufen wie Schulnoten oder „stimme zu“ bis „stimme nicht zu“ haben dagegen eine Rangfolge, deshalb lässt sich ihre Mitte bestimmen. Solche Kategorien darfst du aber nicht einfach arithmetisch mitteln, weil ihre Abstände nicht festgelegt sind. Zur Vertiefung: Bei einer geraden Anzahl ist der Durchschnitt der beiden mittleren Werte eine Konvention. Streng genommen erfüllt jeder Wert zwischen ihnen die Halbierungsbedingung. Man nennt den kleineren auch Untermedian, den größeren Obermedian.
| Lagemaß | Leitfrage | Voraussetzung |
|---|---|---|
| Median | Welcher Wert liegt in der Rangmitte? | Die Daten besitzen eine natürliche Ordnung. |
| Arithmetisches Mittel | Welcher rechnerische Durchschnitt entsteht aus allen Werten? | Zahlenabstände müssen sinnvoll interpretierbar sein. |
| Modus | Welcher Wert oder welche Ausprägung kommt am häufigsten vor? | Häufigkeiten müssen vergleichbar sein. |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Median
Vorbereitung
Daten ordnen und Anzahl bestimmen
Mitte
bei ungerader Anzahl einen Wert ablesen, bei gerader die zwei mittleren mitteln
Bedeutung
Rangmitte der Daten
Stärke
robust gegenüber extremen Randwerten
Grenze
keine Anwendung ohne natürliche Ordnung
Vergleich
Modus zählt Häufigkeit, Mittelwert nutzt alle Zahlenwerte
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Median von 7, 3, 15, 9, 2, 3, 1, 1
- 1Sortieren: 1, 1, 2, 3, 3, 7, 9, 15
- 2Anzahl: n=8, also gerade
- 3Mittlere Positionen: 8 : 2 = 4 und 4 + 1 = 5
- 4Der 4. und der 5. Wert sind 3 und 3.
- 5Median: (3 + 3) : 2 = 3
Fehler finden
Median von 12, 5, 20, 9, 7 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Werte wurden nicht sortiert. Sortiert lautet die Reihe 5, 7, 9, 12, 20, und der dritte Wert ist 9. Der Median ist also 9.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Um den Median zu bestimmen, musst du die Werte zuerst . Bei einer Anzahl gibt es genau einen mittleren Wert. Bei einer geraden Anzahl verwendest du schulüblich die Werte.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback