Mathematik · Klasse 5–7 · aktualisiert
Ganze Zahlen: verstehen, ordnen und rechnen
Ganze Zahlen sind negativ, null oder positiv. Du lernst, sie zu deuten, an der Zahlengeraden zu ordnen und mit Vorzeichen sicher zu rechnen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ganze Zahlen sind die natürlichen Zahlen, die Null und die negativen Zahlen: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Ihr Zeichen ist \mathbb Z. Auf der Zahlengeraden ist die weiter rechts liegende Zahl größer, also −3 > −8. Subtrahieren heißt die Gegenzahl addieren: 4 − (−6) = 4 + 6 = 10.
Minus drei Grad im Winter, das zweite Untergeschoss im Parkhaus, 100 € Schulden: Für all das brauchst du Zahlen unter null. Ganze Zahlen sind die positiven natürlichen Zahlen, die Zahl 0 und die negativen Zahlen: \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots Hier lernst du, ganze Zahlen zu erkennen, zu vergleichen und mit ihnen zu rechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ganze Zahlen lassen sich ohne Bruch- oder Nachkommaanteil schreiben. Ihr Mengensymbol ist \mathbb Z. Beispiele sind 13, 0 und −4. Die Zahl 1,5 ist dagegen keine ganze Zahl. Die 0 ist weder positiv noch negativ. Bei positiven Zahlen lässt man das Pluszeichen meistens weg: 3 und +3 sind dieselbe Zahl. Ganze Zahlen beschreiben Werte im Vergleich zu einem Bezugspunkt: −3 °C heißt drei Grad unter null, −2 kann im Aufzug das zweite Untergeschoss sein und −100 € kann für 100 Euro Schulden stehen.
Definition
Negative Zahl
Eine negative Zahl steht links von 0 und trägt ein Minuszeichen, zum Beispiel −5. Das Minuszeichen gehört hier zur Zahl und heißt Vorzeichen.
Beispiel: Ein Aufzug fährt vom zweiten Untergeschoss drei Stockwerke nach oben
- 1Start im zweiten Untergeschoss: −2
- 2Drei Stockwerke nach oben: −2 + 3 = 1
- 3Der Aufzug hält im ersten Obergeschoss.
Teste dich
Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen links von 0 und positive Zahlen rechts davon. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Deshalb gilt −2 > −5: Obwohl 5 größer als 2 ist, liegt −5 weiter links als −2. Zu jeder Zahl gehören außerdem ihr Betrag und ihre Gegenzahl. Die Gegenzahl hat denselben Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Gegenzahl von 5 ist −5, zusammen ergeben beide 0. Mehr zum Betrag findest du im Artikel Betrag einer Zahl.
Definition
Betrag
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0. Er ist nie negativ. So gilt |−4| = 4 und |4| = 4.
Merke: Das Vorzeichen zeigt die Seite von 0. Der Betrag zeigt nur den Abstand von 0.
Teste dich
Du kannst eine Addition als Bewegung auf der Zahlengeraden lesen: Eine positive Zahl addieren heißt nach rechts gehen, eine negative Zahl addieren heißt nach links gehen. Ohne Zahlengerade helfen zwei Regeln. Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge und übernimm das gemeinsame Vorzeichen. Verschiedene Vorzeichen: Ziehe den kleineren Betrag vom größeren ab. Das Ergebnis bekommt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Beim Subtrahieren addierst du die Gegenzahl: a − b = a + (−b). Unterscheide dabei Rechenzeichen und Vorzeichen. In 5 − (−3) ist das erste Minus ein Rechenzeichen, das zweite das Vorzeichen der Zahl −3. So werden auch Rechnungen wie 3 − 5 = −2 möglich, deren Ergebnis keine natürliche Zahl ist.
Beispiel: Addieren und Subtrahieren mit Vorzeichen
- 1An der Zahlengeraden: −5 + 2 = −3, zwei Schritte nach rechts
- 2Gleiche Vorzeichen: −5 + (−2) = −7
- 3Verschiedene Vorzeichen: 5 + (−8) = −3, denn 8 − 5 = 3 und −8 hat den größeren Betrag
- 4Subtrahieren: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8
Merke: Bei verschiedenen Vorzeichen entscheidet nicht die zuerst stehende Zahl, sondern die Zahl mit dem größeren Betrag über das Vorzeichen des Ergebnisses.
Teste dich
Bei der Multiplikation rechnest du zuerst mit den Beträgen. Danach bestimmst du das Vorzeichen: Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis, verschiedene Vorzeichen ein negatives. Für die Division gelten dieselben Vorzeichenregeln. Eine Division bleibt aber nur dann bei den ganzen Zahlen, wenn ein ganzzahliges Ergebnis herauskommt. Durch 0 kannst du nicht dividieren.
| Vorzeichen | Ergebnis | Beispiel |
|---|---|---|
| gleich | positiv | (−3) · (−7) = 21 |
| verschieden | negativ | (−24) : 6 = −4 |
Beispiel: Nicht jede Division bleibt ganzzahlig
- 1(−3) · (−7) = 21, denn 3 · 7 = 21 und beide Vorzeichen sind gleich
- 2(−24) : 6 = −4, denn 24 : 6 = 4 und die Vorzeichen sind verschieden
- 37 : 2 = 3,5 ist keine ganze Zahl
- 4Als Division mit Rest: 7 : 2 = 3 Rest 1
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ganze Zahlen
Erkennen
Ganze Zahlen sind negativ, null oder positiv und haben keinen Bruchteil
Deuten
Temperaturen, Stockwerke und Kontostände unter null
Ordnen
Je weiter rechts auf der Zahlengeraden, desto größer
Beschreiben
Vorzeichen, Betrag und Gegenzahl
Plus und Minus
Beträge vergleichen, Subtrahieren heißt Gegenzahl addieren
Mal und geteilt
Gleiche Vorzeichen ergeben plus, verschiedene minus
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Eine Taucherin ist bei −12 m, steigt 5 m auf und taucht dann 8 m tiefer: Wo ist sie am Ende?
- 1Start: −12 m, also 12 m unter der Wasseroberfläche
- 2Sie steigt um 5 m auf: −12 + 5 = −7
- 3Sie ist also bei −7 m.
- 4Dann taucht sie 8 m tiefer: −7 − 8 = −15
- 5Am Ende ist sie bei −15 m, also 15 m unter der Wasseroberfläche.
Fehler finden
−7 + 4 − (−2) berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Vorzeichen sind verschieden und −7 hat den größeren Betrag. Das Ergebnis ist also negativ: −7 + 4 = −3. Danach folgt −3 + 2 = −1.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Auf der Zahlengeraden ist die Zahl weiter die größere. Der Betrag von −6 ist . Subtrahieren heißt: die addieren.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback