Mathematik · Klasse 5–7 · aktualisiert
Flächeninhalt und Umfang einfach berechnen
Umfang ist der Rand, Flächeninhalt der bedeckte Bereich. Du lernst, beide bei Rechteck und Quadrat zu berechnen und fehlende Seiten zu finden.
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Kurz gesagt
Der Umfang ist die Länge des Randes einer Figur, der Flächeninhalt die Größe der bedeckten Fläche. Beim Rechteck gilt U = 2(a + b) und A = a \cdot b, beim Quadrat U = 4a und A = a \cdot a. Der Umfang hat eine Längeneinheit wie m, der Flächeninhalt eine Quadrateinheit wie m².
Wie lang ist die Linie um ein Fußballfeld, und wie viel Rasen liegt darauf? Die erste Frage zielt auf den Rand, die zweite auf die ganze Fläche. Hier lernst du, beides auseinanderzuhalten, bei Rechteck und Quadrat richtig zu rechnen, Einheiten umzurechnen und fehlende Seiten zu finden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Denk an ein Fußballfeld. Die Seiten- und Torlinien bilden seinen Rand: Ihre Gesamtlänge ist der Umfang. Der Rasen bedeckt die ganze Spielfläche: Ihre Größe ist der Flächeninhalt. Bei jeder Sachaufgabe fragst du dich deshalb zuerst: Geht es um den Rand oder um den bedeckten Bereich? Dann notierst du die Seitenlängen mit Einheiten, gleichst die Einheiten an und rechnest mit der passenden Formel. Zum Schluss prüfst du Ergebnis, Einheit und ob die Antwort zur Frage passt.
Definition
Umfang
Der Umfang U ist die Länge des vollständigen Randes einer Figur. Er wird in einer Längeneinheit wie cm, m oder km angegeben.
Definition
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt A gibt an, wie groß der bedeckte Bereich ist. Er wird in einer Quadrateinheit wie cm², m² oder km² angegeben.
Beispiel: Wie groß ist ein Fußballfeld von 120 m mal 90 m?
- 1„Größe des Spielfelds“ meint den bedeckten Bereich, also den Flächeninhalt.
- 2A = 120 m · 90 m = 10.800 m²
- 3Das Spielfeld ist 10.800 m² groß.
Teste dich
Ein Rechteck hat vier rechte Winkel, gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Nenne die Seitenlängen a und b. Für den Umfang addierst du alle vier Seiten: U = a + b + a + b = 2(a + b) Für den Flächeninhalt multiplizierst du die beiden Seitenlängen: A = a \cdot b Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck mit vier gleich langen Seiten. Mit der Seitenlänge a gilt U = 4a und A = a \cdot a.
Beispiel: Garten: 5 m lang, 4 m breit
- 1Zaun am Rand: U = 2 · (5 m + 4 m) = 18 m
- 2Rasen auf der Fläche: A = 5 m · 4 m = 20 m²
- 318 m ist eine Länge. 20 m² sind 20 Quadrate von je 1 m².
Beispiel: Quadrat mit a = 7 cm
- 1U = 4 · 7 cm = 28 cm
- 2A = 7 cm · 7 cm = 49 cm²
Teste dich
Du darfst Seitenlängen erst addieren oder multiplizieren, wenn sie in derselben Einheit stehen. Wandle deshalb zuerst um. Bei Längen gilt zum Beispiel 1 cm = 10 mm. Bei Flächen wird der Umrechnungsfaktor quadriert: 1 cm² = 100 mm². Der Grund: Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge ist 10 mm lang und 10 mm breit. Es enthält also 10 · 10 = 100 Quadratmillimeter.
Beispiel: Rechteck mit a = 30 mm und b = 9 cm
- 1Umwandeln: 30 mm = 3 cm
- 2U = 2 · (3 cm + 9 cm) = 24 cm
- 3A = 3 cm · 9 cm = 27 cm²
Merke: Längen werden in mm, cm, dm, m oder km angegeben. Flächen brauchen die passende Quadrateinheit, zum Beispiel cm² oder m².
Teste dich
Kennst du den Flächeninhalt und eine Seite, teilst du die Fläche durch die bekannte Seite: b = A : a. Kennst du den Umfang, halbierst du ihn zuerst, denn a + b kommt im Rand zweimal vor. Danach ziehst du die bekannte Seite ab: b = \frac{U}{2} - a Mit einer Probe prüfst du, ob die gefundene Seite stimmt.
Beispiel: Aus der Fläche: A = 30 cm², a = 6 cm
- 1b = 30 cm² : 6 cm = 5 cm
- 2Probe: 6 cm · 5 cm = 30 cm²
Beispiel: Aus dem Umfang: U = 40 cm, a = 5 cm
- 1Umfang halbieren: 40 cm : 2 = 20 cm
- 2b = 20 cm − 5 cm = 15 cm
- 3Probe: 2 · (5 cm + 15 cm) = 40 cm
Teste dich
Alles auf einen Blick
Flächeninhalt und Umfang
Umfang
Länge des Randes, beim Rechteck U = 2(a + b)
Flächeninhalt
bedeckter Bereich, beim Rechteck A = a \cdot b
Quadrat
U = 4a und A = a \cdot a
Einheiten
erst angleichen, Umfang in m, Fläche in m²
Fehlende Seite
b = A : a oder b = \frac{U}{2} - a
Probe
Ergebnis einsetzen und Einheit prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Beet mit 2,5 m Länge und 80 cm Breite: Beetkante und Fläche
- 1Einheiten angleichen: 80 cm = 0,8 m
- 2Rand gesucht: U = 2 · (2,5 m + 0,8 m) = 6,6 m
- 3Fläche gesucht: A = 2,5 m · 0,8 m = 2 m²
- 4Du brauchst 6,6 m Beetkante, und das Beet ist 2 m² groß.
Fehler finden
Flächeninhalt eines Rechtecks mit a = 40 mm und b = 7 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die 40 mm wurden einfach als 40 cm eingesetzt. Wandle zuerst um: 40 mm = 4 cm. Dann gilt A = 4 cm · 7 cm = 28 cm².
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für einen Zaun um den Garten brauchst du den . Ein Flächeninhalt hat eine wie m². Beim Umrechnen von cm² in mm² multiplizierst du mit .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback