Geraden: Grundlagen, Gleichungen und Lage

Eine Gerade enthält unendlich viele Punkte und verläuft in zwei Richtungen unbegrenzt weiter. Zwei verschiedene Punkte legen genau eine Gerade fest. Ähnliche Objekte unterscheiden sich durch ihre Begrenzung. Ein Punkt auf einer Geraden teilt sie in zwei entgegengesetzte Strahlen.

In der Ebene ist der Graph einer linearen Funktion eine Gerade: y=mx+t. Dabei ist m die Steigung: Sie gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um eins wächst. t ist der y-Achsenabschnitt: Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0|t). Sonderfälle: Bei t=0 läuft die Gerade y=mx durch den Ursprung. Bei m=0 ist y=t waagerecht. Eine senkrechte Gerade hat die Form x=c und lässt sich nicht als y=mx+t schreiben: Zu dem einen x-Wert gehören unendlich viele y-Werte, sie ist also kein Funktionsgraph. Für sie und für Geraden im Raum nutzt du die Parameterform. Sind zwei Punkte A(x_A|y_A) und B(x_B|y_B) mit x_A\ne x_B gegeben, berechnest du zuerst m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} und setzt dann einen Punkt ein, um t zu finden.

Im Raum gibt es keine Gleichung y=mx+t. Du beschreibst die Gerade mit einem Punkt und einer Richtung: g:\ \vec x=\vec p+r\vec u mit r\in\mathbb R. Für r=0 erhältst du den Stützpunkt, für r=1 den Stützpunkt plus einmal den Richtungsvektor, für r<0 Punkte in der Gegenrichtung. Sind zwei Punkte A und B gegeben, wählst du A als Stützpunkt und \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a als Richtung. Bei einer Punktprobe setzt du einen Punkt für \vec x ein. Er liegt nur dann auf der Geraden, wenn alle Koordinaten denselben Parameterwert ergeben.

In der Ebene können zwei Geraden identisch, echt parallel oder schneidend sein. Im Raum kommt die Lage windschief hinzu. Für zwei Raumgeraden g:\ \vec x=\vec a+r\vec u und h:\ \vec x=\vec b+s\vec v gehst du so vor: Prüfe zuerst, ob \vec u und \vec v Vielfache voneinander sind. Wenn ja, machst du eine Punktprobe mit einem Aufpunkt: Liegt er auf der anderen Geraden, sind sie identisch, sonst echt parallel. Wenn nein, setzt du beide Gleichungen gleich: Gibt es eine gemeinsame Lösung für r und s, schneiden sie sich, sonst sind sie windschief. Gilt beim Schneiden zusätzlich \vec u\cdot\vec v=0, schneiden sie sich im rechten Winkel.