Mathematik · Klasse 5–7 · aktualisiert
Flächeninhalt eines Trapezes berechnen
Ein Trapez hat zwei parallele Grundseiten. Du lernst, wie du seine Fläche berechnest, warum die Formel stimmt und wie du sie umstellst.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnest du mit A = \frac{a + c}{2} \cdot h. Du bildest den Mittelwert der beiden parallelen Grundseiten a und c und multiplizierst ihn mit der senkrechten Höhe h. Für a = 8 cm, c = 6 cm und h = 4 cm ist A = 7 cm · 4 cm = 28 cm².
Ein Beet mit zwei parallelen Kanten, der Querschnitt eines Grabens oder eine Handtasche von der Seite: Viele Flächen sind Trapeze. Hier lernst du, welche Strecken du für die Fläche brauchst, warum die Formel gilt und wie du eine fehlende Höhe oder Grundseite findest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Manche Schulbücher verlangen genau ein solches Paar, für die Flächenformel spielt das keine Rolle. Die parallelen Seiten heißen Grundseiten, hier a und c. Die beiden anderen Seiten heißen Schenkel. Sie kommen in der Flächenformel nicht vor. Ein schräger Schenkel ist deshalb nicht die Höhe. Nur beim rechtwinkligen Trapez steht ein Schenkel senkrecht auf beiden Grundseiten. Dann ist er genau so lang wie die Höhe.
Definition
Höhe
Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Grundseiten. Sie bildet mit beiden Grundseiten einen rechten Winkel.
Merke: Für den Flächeninhalt brauchst du die beiden parallelen Grundseiten a und c sowie die senkrechte Höhe h.
Teste dich
Nimm zwei gleiche Trapeze. Drehst du das zweite um und legst es an das erste, entsteht ein Parallelogramm. Seine Grundseite ist a + c, seine Höhe bleibt h. Es hat also die Fläche (a + c) \cdot h. Ein Trapez ist genau die Hälfte davon: A = \frac{1}{2}(a + c) \cdot h = \frac{a + c}{2} \cdot h Der Bruch \frac{a + c}{2} ist der Mittelwert der beiden Grundseiten. Genau so lang ist die Mittellinie. Darum kannst du auch A = m \cdot h schreiben. In Worten: mittlere Breite mal Höhe.
Definition
Mittellinie
Die Mittellinie m liegt genau in der Mitte zwischen den Grundseiten und verbindet die Mitten der beiden Schenkel. Ihre Länge ist der Mittelwert der Grundseiten: m = \frac{a + c}{2}.
Beispiel: Mit der Mittellinie rechnen: m = 7 cm, h = 6 cm
- 1A = m \cdot h
- 2A = 7 cm · 6 cm = 42 cm²
- 3Dieselbe Mittellinie hat ein Trapez mit a = 9 cm und c = 5 cm: (9 cm + 5 cm) : 2 = 7 cm.
Teste dich
Gehe in vier Schritten vor. Prüfe zuerst, welche Seiten parallel sind. Bringe dann alle Längen in dieselbe Einheit: Zentimeter und Meter darfst du nicht mischen. Setze a, c und h in die Formel ein. Gib das Ergebnis zum Schluss in einer Flächeneinheit wie cm² oder m² an. 28 cm wäre eine Länge, 28 cm² ist eine Fläche.
Beispiel: Trapez mit a = 8 cm, c = 6 cm und h = 4 cm
- 1Mittelwert der Grundseiten: (8 cm + 6 cm) : 2 = 7 cm
- 2Mal Höhe: A = 7 cm · 4 cm = 28 cm²
- 3cm mal cm ergibt cm², das Ergebnis ist also eine Fläche.
Merke: Rechne alle Längen zuerst in dieselbe Einheit um. Das Ergebnis bekommt eine Flächeneinheit wie cm² oder m².
Teste dich
Manchmal kennst du die Fläche und suchst die Höhe. Dann stellst du A = \frac{a + c}{2} \cdot h um: Multipliziere mit 2 und teile durch a + c. h = \frac{2A}{a + c} Suchst du eine Grundseite, zum Beispiel c, teilst du 2A durch h und ziehst a ab: c = \frac{2A}{h} - a Zum Schluss machst du die Probe: Setze alle Werte in die Flächenformel ein.
Beispiel: Höhe gesucht: A = 54 cm², a = 11 cm, c = 7 cm
- 1h = \frac{2A}{a + c}
- 2h = 2 · 54 cm² : (11 cm + 7 cm)
- 3h = 108 cm² : 18 cm = 6 cm
- 4Probe: (11 cm + 7 cm) : 2 = 9 cm und 9 cm · 6 cm = 54 cm²
Merke: Fläche geteilt durch Länge ergibt wieder eine Länge: cm² : cm = cm.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Flächeninhalt Trapez
Grundseiten
die beiden parallelen Seiten a und c
Höhe
senkrechter Abstand der Grundseiten, kein schräger Schenkel
Formel
A = \frac{a + c}{2} \cdot h, also Mittelwert der Grundseiten mal Höhe
Mittellinie
m = \frac{a + c}{2} und damit A = m \cdot h
Umstellen
h = \frac{2A}{a + c} und c = \frac{2A}{h} - a
Kontrolle
gleiche Längeneinheiten, Ergebnis in cm² oder m²
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Tischplatte in Trapezform: a = 1,2 m, c = 80 cm, h = 50 cm
- 1Einheiten angleichen: 1,2 m = 120 cm
- 2Mittelwert der Grundseiten: (120 cm + 80 cm) : 2 = 100 cm
- 3Mal Höhe: A = 100 cm · 50 cm = 5.000 cm²
- 4Die Tischplatte ist 5.000 cm² groß, das sind 0,5 m².
Fehler finden
Trapez mit a = 11 cm, c = 5 cm und h = 4 cm In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Summe 11 + 5 = 16 wurde nicht durch 2 geteilt. Richtig ist A = 8 \cdot 4 = 32, also 32 cm².
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Höhe steht auf den beiden Grundseiten. Für die Fläche bildest du den Mittelwert der und multiplizierst ihn mit der Höhe. Das Ergebnis hat eine .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback