Mathematik · Klasse 6 · aktualisiert
Periodische Dezimalzahlen erkennen und umwandeln
Manche Dezimalzahlen hören nie auf. Du lernst, die Periode zu erkennen und rein- und gemischtperiodische Zahlen exakt als Bruch zu schreiben.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine periodische Dezimalzahl hat nach dem Komma Ziffern, die sich unendlich wiederholen: 0{,}\overline{45} = 0{,}4545\ldots Die Periode steht unter dem Periodenstrich. Beginnt sie direkt nach dem Komma, kommt sie in den Zähler und je Ziffer eine Neun in den Nenner: 0{,}\overline{23} = \frac{23}{99}.
Tipp 2 : 3 in den Taschenrechner, und du bekommst 0,6666666… Die 6 hört nie auf. Solche Zahlen heißen periodische Dezimalzahlen. Der Periodenstrich markiert genau den Teil, der sich ohne Ende wiederholt. Hier lernst du, periodische Zahlen zu erkennen, zu verstehen, woher sie kommen, und sie exakt als Bruch zu schreiben.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der Periodenstrich zeigt, welche Ziffern sich wiederholen: 0{,}\overline{45} bedeutet 0{,}45454545\ldots Die Periode ist 45, ihre Länge ist 2. Nicht jede Zahl mit gleichen Nachkommastellen ist periodisch: 0,33333 endet nach fünf Stellen. Erst 0{,}33333\ldots oder 0{,}\overline{3} zeigt, dass die 3 ohne Ende weitergeht. Bei einer reinperiodischen Zahl beginnt die Periode direkt nach dem Komma, zum Beispiel 0{,}\overline{23}. Bei einer gemischtperiodischen Zahl stehen zuerst Nachkommastellen, die sich nicht wiederholen, zum Beispiel 0{,}1\overline{2}. Die 1 heißt Vorperiode, sie gehört nicht zur Periode.
Definition
Periode
Die Periode ist die Ziffer oder Zifferngruppe, die sich nach dem Komma unendlich oft wiederholt. Der Periodenstrich steht nur über dieser Folge. Die Periodenlänge ist die Anzahl der Ziffern unter dem Strich.
| Zahl | Art | Vorperiode | Periode |
|---|---|---|---|
| 0{,}\overline{23} | reinperiodisch | keine | 23 |
| 0{,}1\overline{2} | gemischtperiodisch | 1 | 2 |
| 2{,}13\overline{24} | gemischtperiodisch | 13 | 24 |
| 0,33333 | endlich | keine | keine |
Teste dich
Ein Bruch ist eine Division: \frac{2}{3} bedeutet 2 : 3. Bei dieser schriftlichen Division bleibt immer wieder der Rest 2. Dann wiederholen sich auch dieselben Rechenschritte und dieselben Ergebnisziffern. Bei einem festen Nenner gibt es nur endlich viele mögliche Reste. Entweder wird der Rest irgendwann 0, dann endet die Dezimalzahl. Oder ein früherer Rest kehrt wieder, dann entsteht eine Periode. Eine Periode kann auch mehrere Ziffern haben, und vor ihr kann eine Vorperiode stehen.
| Bruch | Dezimalzahl | Was passiert? |
|---|---|---|
| \frac{2}{3} | 0{,}\overline{6} | Periode 6, Länge 1 |
| \frac{6}{11} | 0{,}\overline{54} | Periode 54, Länge 2 |
| \frac{5}{6} | 0{,}8\overline{3} | erst die 8, dann wiederholt sich nur die 3 |
Merke: Eine endliche Zahl wie 0,8 hört auf. Eine periodische Zahl wie 0{,}\overline{8} wiederholt sich ohne Ende. Der Periodenstrich macht den Unterschied sichtbar.
Teste dich
Hier hilft die Neunerregel: Schreibe die Periodenziffern als ganze Zahl in den Zähler. In den Nenner kommen genauso viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat. Eine führende Null zählt zur Periodenlänge, aber nicht zum Wert des Zählers: 0{,}\overline{089} = \frac{89}{999}. Die Periode 089 hat drei Stellen, also brauchst du drei Neunen. Steht vor dem Komma eine ganze Zahl, trennst du beide Teile: 1{,}\overline{2} = 1 + 0{,}\overline{2} = \frac{9}{9} + \frac{2}{9} = \frac{11}{9}.
Beispiel: 0{,}\overline{23} als Bruch schreiben
- 1Periode: 23, also zwei Ziffern
- 2Nenner: zwei Neunen, also 99
- 3Zähler: 23
- 40{,}\overline{23} = \frac{23}{99}
- 5Probe: Der Bruch liegt zwischen 0 und 1, wie die Ausgangszahl.
Merke: Neunerregel: Bei n Periodenziffern stehen n Neunen im Nenner. Sie gilt direkt nur für reinperiodische Zahlen.
Teste dich
Die Neunerregel klappt erst, wenn die Periode direkt nach dem Komma beginnt. Verschiebe deshalb zuerst das Komma: Multipliziere mit 10, 100 oder einer passenden weiteren Zehnerpotenz, je nachdem, wie viele Stellen vor der Periode stehen. Wandle dann die reinperiodische Zahl um und mache die Multiplikation rückgängig. Bei 0{,}12\overline{3} stehen zwei Stellen vor der Periode, also multiplizierst du mit 100: 0{,}12\overline{3} \cdot 100 = 12{,}\overline{3} = 12 + \frac{3}{9} = \frac{111}{9}. Nach der Division durch 100 gilt 0{,}12\overline{3} = \frac{111}{900} = \frac{37}{300}.
Beispiel: 0{,}4\overline{6} als Bruch schreiben
- 1Eine Stelle vor der Periode: mal 10
- 20{,}4\overline{6} \cdot 10 = 4{,}\overline{6}
- 34{,}\overline{6} = 4 + \frac{6}{9} = \frac{42}{9}
- 4Durch 10 zurück: \frac{42}{9} : 10 = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}
- 5Probe: 0{,}4\overline{6} liegt zwischen 0,4 und 0,5. \frac{7}{15} auch.
Merke: Die Zehnerpotenz richtet sich nach der Zahl der Stellen vor der Periode, nicht nach der Länge der Periode. Am Ende teilst du wieder durch dieselbe Zehnerpotenz.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Periodische Dezimalzahlen
Erkennen
Unter dem Periodenstrich steht, was sich unendlich wiederholt
Einordnen
reinperiodisch oder gemischtperiodisch mit Vorperiode
Ursache
Bei der Division kehrt ein Rest wieder
Reinperiodisch umwandeln
Periode über gleich viele Neunen
Gemischtperiodisch umwandeln
Komma verschieben, umwandeln, zurückrechnen
Prüfen
kürzen und die Größenordnung vergleichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
0{,}23\overline{4} als Bruch schreiben
- 1Vor der Periode stehen zwei Stellen: 2 und 3. Also mal 100.
- 20{,}23\overline{4} \cdot 100 = 23{,}\overline{4}
- 323{,}\overline{4} = 23 + \frac{4}{9} = \frac{207}{9} + \frac{4}{9} = \frac{211}{9}
- 4Durch 100 zurück: \frac{211}{9} : 100 = \frac{211}{900}
- 5211 ist eine Primzahl, der Bruch lässt sich nicht kürzen.
- 6Probe: \frac{211}{900} liegt zwischen 0,2 und 0,3, wie die Ausgangszahl.
Fehler finden
0{,}1\overline{6} als Bruch schreiben In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Das Mal 10 wurde nicht rückgängig gemacht. Du musst wieder durch 10 teilen: \frac{15}{9} : 10 = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}, also 0{,}1\overline{6} = \frac{1}{6}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Periode steht unter dem . Bei 0{,}\overline{23} kommen Neunen in den Nenner. Bei einer gemischtperiodischen Zahl verschiebst du zuerst das .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback