Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Arithmetisches Mittel berechnen und verstehen
Das arithmetische Mittel ist der Durchschnitt einer Datenreihe. Du lernst, es zu berechnen, fehlende Werte zu finden und Ausreißer zu beurteilen.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt oder Mittelwert genannt, ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl: \bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}. Für 2, 4 und 9 ist es (2 + 4 + 9) : 3 = 5.
Deine letzten Mathenoten waren 2, 3, 1 und 3. Welche Note hast du im Schnitt? Genau das beantwortet das arithmetische Mittel, oft auch Durchschnitt oder Mittelwert genannt. Hier lernst du, es zu berechnen, fehlende Werte zu bestimmen, Häufigkeitstabellen auszuwerten und zu erkennen, wann ein Ausreißer den Mittelwert verzerrt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Du brauchst zwei Angaben: die Summe aller Werte und die Anzahl der Werte. Addiere alle Werte, zähle sie und teile die Summe durch die Anzahl. Der Mittelwert verteilt die Gesamtsumme rechnerisch gleichmäßig auf alle Werte. Deshalb muss er selbst nicht in der Datenreihe vorkommen. Bei zwei Zahlen a und b liegt m = \frac{a + b}{2} genau in der Mitte. Umgekehrt gilt immer: Gesamtsumme = Anzahl mal Mittelwert, also \sum x_i = n \cdot \bar x. Und die Abweichungen vom Mittelwert gleichen sich aus: \sum (x_i - \bar x) = 0.
Definition
Arithmetisches Mittel
Für die Werte x_1, x_2, \dots, x_n ist das arithmetische Mittel \bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}. Dabei ist n die Anzahl der Werte. \bar x sprichst du „x quer“.
Beispiel: Durchschnittsgröße von fünf Freunden
- 1Größen: 162 cm, 156 cm, 172 cm, 177 cm und 151 cm
- 2Summe: 162 + 156 + 172 + 177 + 151 = 818
- 3Mittelwert: 818 cm : 5 = 163,6 cm
- 4Im Durchschnitt sind die Freunde 163,6 cm groß, obwohl keiner genau so groß ist.
Merke: Teile immer durch die Anzahl aller Werte, nicht durch den größten Wert und nicht durch die Anzahl verschiedener Werte.
Teste dich
Kennst du den gewünschten Mittelwert und die Anzahl aller Werte, berechnest du zuerst die nötige Gesamtsumme n \cdot \bar x. Dann ziehst du die Summe der bekannten Werte ab. Was übrig bleibt, ist der fehlende Wert: x_{\text{fehlend}} = n \cdot \bar x - \text{Summe der bekannten Werte}. So findest du zum Beispiel heraus, wie viele Punkte du im letzten Spiel für einen bestimmten Schnitt brauchst.
Beispiel: Welcher fünfte Wert fehlt?
- 1Gegeben sind 2, 5, 12 und 20. Mit einem fünften Wert soll der Mittelwert 9 sein.
- 2Nötige Summe für fünf Werte: 5 · 9 = 45
- 3Summe der bekannten Werte: 2 + 5 + 12 + 20 = 39
- 4Fehlender Wert: 45 − 39 = 6
- 5Probe: (2 + 5 + 12 + 20 + 6) : 5 = 9
Merke: Rechne mit der neuen Anzahl der Werte. Kommt ein Wert dazu, steigt die Anzahl um eins.
Teste dich
In einer Häufigkeitstabelle steht jeder Wert nur einmal. Die absolute Häufigkeit H(x_i) gibt an, wie oft er vorkommt. Damit kein Wert verloren geht, nimmst du jeden Wert mal seine Häufigkeit. Dann addierst du die Produkte und teilst durch die Summe der Häufigkeiten: \bar x = \frac{\sum x_i \cdot H(x_i)}{\sum H(x_i)}.
| Note | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Häufigkeit | 2 | 9 | 11 | 16 | 12 |
| Note · Häufigkeit | 2 | 18 | 33 | 64 | 60 |
Beispiel: Durchschnittsnote bei 50 Prüfungen
- 1Produkte addieren: 1 · 2 + 2 · 9 + 3 · 11 + 4 · 16 + 5 · 12 = 177
- 2Häufigkeiten addieren: 2 + 9 + 11 + 16 + 12 = 50
- 3Mittelwert: 177 : 50 = 3,54
Merke: Teile bei einer Häufigkeitstabelle durch die Summe der Häufigkeiten, also die Zahl aller Beobachtungen, nicht durch die Anzahl der verschiedenen Werte.
Teste dich
Ein Ausreißer ist ein Wert, der ungewöhnlich weit von den übrigen entfernt liegt. Weil beim arithmetischen Mittel jeder Wert in die Summe eingeht, kann ein einzelner sehr großer oder sehr kleiner Wert das Ergebnis stark verschieben. Dann helfen zwei weitere Kennwerte: Der Median ist die Mitte der geordneten Datenreihe und reagiert weniger stark auf einzelne Extremwerte. Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Welcher Kennwert passt, hängt von der Frage ab. Und: Der Mittelwert allein sagt nicht, wie weit die Werte auseinanderliegen.
Beispiel: Taschengeld in einer Gruppe
- 1Fünf Kinder bekommen im Monat 10 €, 12 €, 12 €, 14 € und 102 €.
- 2Mittelwert: (10 + 12 + 12 + 14 + 102) : 5 = 150 : 5 = 30, also 30 €
- 3Median: Der mittlere Wert der geordneten Reihe ist 12 €.
- 4Vier von fünf Kindern bekommen höchstens 14 €. Die typische Mitte beschreibt hier der Median besser.
| Kennwert | Bedeutung | Bei einem Ausreißer |
|---|---|---|
| arithmetisches Mittel | Summe durch Anzahl | wird stark verschoben |
| Median | Mitte der geordneten Reihe | reagiert wenig |
| Modus | häufigster Wert | ändert sich meist nicht |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Arithmetisches Mittel
Berechnung
Summe aller Werte durch ihre Anzahl
Umkehrung
Gesamtsumme = Anzahl · Mittelwert
Fehlender Wert
nötige Summe minus bekannte Summe
Häufigkeiten
Wert mal Häufigkeit, durch die Summe der Häufigkeiten
Ausreißer
verschieben den Mittelwert stark
Median
robustere Mitte bei Ausreißern
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Mittlere Temperatur einer Woche
- 1Temperaturen: 14 °C, 17 °C, 15 °C, 12 °C, 18 °C, 20 °C, 16 °C
- 2Summe: 14 + 17 + 15 + 12 + 18 + 20 + 16 = 112
- 3Anzahl: 7 Tage
- 4Mittelwert: 112 °C : 7 = 16 °C
- 5Probe über die Abweichungen von 16: (−2) + 1 + (−1) + (−4) + 2 + 4 + 0 = 0
Fehler finden
Mittlere Note aus einer kleinen Tabelle In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Du musst durch die Anzahl aller Noten teilen, also durch 3 + 1 + 2 = 6. Richtig ist 19 : 6 ≈ 3,17. Ein Schnitt über 5 ist gar nicht möglich.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch . Bei einer Häufigkeitstabelle nimmst du jeden Wert seine Häufigkeit. Bei einem Ausreißer beschreibt oft der die typische Mitte besser.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback