Mathematik · Klasse 6 · aktualisiert
Dezimalzahl in Bruch umwandeln – einfach erklärt
Endlich oder periodisch? Du lernst, abbrechende und periodische Dezimalzahlen in vollständig gekürzte Brüche umzuwandeln und das Ergebnis zu prüfen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine endliche Dezimalzahl schreibst du als Bruch mit 10, 100 oder 1000 im Nenner, je nach Zahl der Nachkommastellen, und kürzt: 0,85 = 85100 = 1720. Bei einer rein periodischen Zahl kommt die Periode in den Zähler und für jede Periodenziffer eine 9 in den Nenner: 0{,}\overline{36} ergibt 3699 = 411.
0,25 € sind ein Viertel Euro, 0,5 Liter sind ein halber Liter. Jede Dezimalzahl, die endet oder sich regelmäßig wiederholt, lässt sich als Bruch schreiben. Zuerst bestimmst du den Zahlentyp. Danach bildest du den passenden Nenner und kürzt den Bruch. Nur Zahlen wie π, die nie enden und sich nie wiederholen, klappen nicht.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Nachkommastellen entscheiden über das Verfahren. Hört die Zahl nach einigen Stellen auf, ist sie endlich, zum Beispiel 0,85 oder 3,482. Wiederholt sich eine Ziffer oder Zifferngruppe ohne Ende, ist sie periodisch. Beginnt die Periode direkt hinter dem Komma, heißt die Zahl rein periodisch. Stehen davor noch andere Nachkommastellen, heißt sie gemischtperiodisch. Eine unendliche Dezimalzahl ohne regelmäßige Wiederholung, wie π, lässt sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen.
Definition
Periode
Die Ziffer oder Zifferngruppe, die sich unbegrenzt wiederholt, heißt Periode. Ein Strich über den Ziffern zeigt genau, welche sich wiederholen: 0,777… schreibst du 0{,}\overline{7}.
| Zahlentyp | Beispiele | Kennzeichen |
|---|---|---|
| endlich | 0,85 und 3,482 | endet nach endlich vielen Stellen |
| rein periodisch | 0{,}\overline{7} und 2{,}\overline{45} | Periode beginnt direkt hinter dem Komma |
| gemischtperiodisch | 3{,}1\overline{45} | vor der Periode stehen andere Ziffern |
Teste dich
Bei einer endlichen Dezimalzahl gehst du in drei Schritten vor. Entferne das Komma und schreibe die entstehende Zahl in den Zähler. Schreibe eine 1 mit so vielen Nullen in den Nenner, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat. Kürze dann Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler, bis nichts mehr geht. Wie das Kürzen genau funktioniert, zeigt die Bruchrechnung.
Beispiel: 0,85 umwandeln
- 1Zwei Nachkommastellen: Nenner 100
- 20,85 = 85100
- 3Kürzen mit 5: 85100 = 1720
Beispiel: 3,482 umwandeln
- 1Drei Nachkommastellen: Nenner 1000
- 23,482 = 34821000
- 3Kürzen mit 2: 34821000 = 1741500
Merke: Bei endlichen Dezimalzahlen bestimmt die Anzahl der Nachkommastellen die Anzahl der Nullen im Nenner.
Teste dich
Schreibe die Ziffern der Periode in den Zähler. Für jede Periodenziffer kommt eine 9 in den Nenner. Kürze anschließend. Eine ganze Zahl vor dem Komma addierst du danach. Woher die Neunen kommen, zeigt eine Gleichung: Ist x = 0,777…, dann gilt 10x = 7,777…, und beim Abziehen von x fällt die Periode weg. Es bleibt 9x = 7, also x = 79. Achtung: Die endliche Zahl 0,36 und die periodische Zahl 0{,}\overline{36} sind verschieden. Die endliche Zahl ergibt zunächst 36100, die periodische dagegen 3699.
Beispiel: 0{,}\overline{36} umwandeln
- 1Die Periode 36 hat zwei Ziffern: Nenner 99
- 2Die Periode kommt in den Zähler: 3699
- 3Kürzen mit 9: 3699 = 411
- 4Also entspricht 0{,}\overline{36} dem Bruch 411
Beispiel: 2{,}\overline{7} umwandeln
- 1Ganzzahliger Teil 2, die Periode 7 ergibt 79
- 22 + 79 = 189 + 79 = 259
- 3Also entspricht 2{,}\overline{7} dem Bruch 259
Merke: Eine Periodenziffer ergibt den Nenner 9, zwei Periodenziffern ergeben 99, drei ergeben 999. Der Überstrich zeigt genau, welche Ziffern sich wiederholen.
Teste dich
Vor der Periode steht hier ein nichtperiodischer Teil. Verschiebe deshalb das Komma zuerst so weit nach rechts, bis die Periode direkt hinter dem Komma beginnt: Für jede nichtperiodische Nachkommastelle multiplizierst du einmal mit 10. Wandle die nun rein periodische Zahl um. Teile danach durch dieselbe Zehnerpotenz, um die Verschiebung rückgängig zu machen, und kürze. Prüfe zum Schluss: Teilst du Zähler durch Nenner, muss wieder die Ausgangszahl herauskommen.
Beispiel: x = 3{,}1\overline{45} umwandeln
- 1Eine Stelle vor der Periode, also mal 10: 10x = 31{,}\overline{45}
- 2Die Periode 45 ergibt 4599 = 511
- 310x = 31 + \frac{5}{11} = \frac{346}{11}
- 4Durch 10 teilen: x = \frac{346}{110} = \frac{173}{55}
- 5Also entspricht 3{,}1\overline{45} dem Bruch 17355
Teste dich
Alles auf einen Blick
Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Zahlentyp
endlich, rein periodisch oder gemischtperiodisch
Endlich
Nenner 10, 100, 1000 je nach Zahl der Stellen
Periode
für jede Periodenziffer eine 9 im Nenner
Gemischt
Komma vor die Periode schieben, am Ende zurückteilen
Abschluss
vollständig kürzen und durch Division prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wandle 0{,}4\overline{3} in einen Bruch um
- 1Eine Stelle vor der Periode: mit 10 multiplizieren
- 2Das ergibt 4{,}\overline{3}, jetzt ist die Zahl rein periodisch
- 3Die Periode 3 ergibt 39 = 13
- 44 + 13 = 133
- 5Durch 10 teilen: 1330
- 6Probe: 13 : 30 ergibt 0,4333…, das passt
Fehler finden
Wandle 0{,}\overline{4} in einen Bruch um In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Eine Periodenziffer ergibt eine 9 im Nenner, keine 10. Richtig ist 49. Der Bruch 25 = 0,4 gehört zur endlichen Zahl 0,4.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer endlichen Dezimalzahl stehen im Nenner passend viele . Bei einer rein periodischen Zahl stehen dort passend viele . Bei einer gemischtperiodischen Zahl wird zuerst der vor das Komma verschoben.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback