Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Antiproportionale Zuordnung erkennen und berechnen
Doppelt so viele Helfer, halb so viel Zeit: Du lernst, antiproportionale Zuordnungen zu erkennen, zu berechnen und ihren Graphen zu deuten.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn das Produkt zusammengehöriger Werte immer gleich ist: x \cdot y = k. Verdoppelt sich x, halbiert sich y. Fehlende Werte berechnest du mit y = \frac{k}{x}. Bei k = 24 und x = 6 ist zum Beispiel y = 4.
Drei Bagger brauchen 36 Stunden für eine Baugrube. Wie lange brauchen sechs? Je mehr Bagger, desto weniger Zeit, und zwar genau im umgekehrten Verhältnis. Hier lernst du, solche antiproportionalen Zuordnungen sicher zu erkennen, fehlende Werte zu berechnen, den Graphen zu deuten und zu prüfen, ob das Modell zur Wirklichkeit passt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
„Je mehr, desto weniger“ ist ein erster Hinweis, aber noch kein Beweis. Entscheidend ist, wie genau sich die Größen ändern: Wird x mit einem Faktor vervielfacht, wird y durch denselben Faktor geteilt. Doppeltes x gibt halbes y, dreifaches x ein Drittel von y, halbes x doppeltes y. So bleibt das Produkt gleich.
Definition
Antiproportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn für jedes zusammengehörige Wertepaar (x | y) dasselbe Produkt entsteht: x \cdot y = k. Die konstante Zahl k heißt Antiproportionalitätsfaktor.
| x | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 6 | 4 | 3 |
| x \cdot y | 2 · 12 = 24 | 4 · 6 = 24 | 6 · 4 = 24 | 8 · 3 = 24 |
Merke: Gegenläufige Werte allein reichen nicht. Erst ein konstantes Produkt beweist die Antiproportionalität. In der Tabelle oben ist jedes Produkt 24, also ist k = 24.
Teste dich
Aus x \cdot y = k folgt, wenn du beide Seiten durch x teilst, die Zuordnungsvorschrift y = \frac{k}{x}. Du gehst in drei Schritten vor: Bestimme mit einem bekannten Wertepaar das Produkt k. Setze den gesuchten x-Wert in y = \frac{k}{x} ein. Prüfe dann Einheit, Produkt und ob das Ergebnis Sinn ergibt.
Beispiel: Wie lange brauchen sechs Bagger?
- 1Drei gleich starke Bagger brauchen für eine Baugrube 36 h.
- 2Faktor: k = 3 \cdot 36 = 108 Baggerstunden. Das ist die feste Gesamtarbeit.
- 3Neuer Wert: y = \frac{108}{6} = 18, also 18 h
- 4Probe: Doppelt so viele Bagger brauchen die halbe Zeit, und 6 · 18 = 108.
Merke: Bei antiproportionalen Zuordnungen rechnest du über das Produkt: erst k = x \cdot y, dann y = \frac{k}{x}. Mehr von der einen Größe muss weniger von der anderen ergeben.
Teste dich
In der Wertetabelle kontrollierst du jede Spalte mit der Produktprobe. Im Koordinatensystem trägst du jedes Wertepaar als Punkt (x | y) ein. Bei einer antiproportionalen Zuordnung liegen die Punkte auf einer Hyperbel. Sie ist keine fallende Gerade: Mit wachsendem x wird sie immer flacher und nähert sich der x-Achse. Nahe bei x = 0 steigt sie steil an. In y = \frac{k}{x} darf x nicht 0 sein, weil man durch 0 nicht teilen kann. Der Graph geht deshalb nie durch den Ursprung.
Definition
Hyperbel
Die Hyperbel ist der typische Graph einer antiproportionalen Zuordnung. Für positive Werte fällt sie von links oben nach rechts unten: Großen x-Werten sind kleine y-Werte zugeordnet. Sie nähert sich beiden Achsen an, ohne sie zu erreichen.
| Zuordnung | Sicheres Kennzeichen | Graph |
|---|---|---|
| proportional | konstanter Quotient \frac{y}{x} | Gerade durch den Ursprung |
| antiproportional | konstantes Produkt x \cdot y | Hyperbel |
Teste dich
Eine Rechnung kann mathematisch richtig sein und die Wirklichkeit trotzdem schlecht beschreiben. Bei Arbeitsaufgaben gilt die Antiproportionalität nur unter Annahmen: Die Gesamtarbeit bleibt gleich. Alle Beteiligten oder Maschinen leisten gleich viel. Sie können die Arbeit aufteilen, ohne sich zu behindern. Und zusätzliche Beteiligte verursachen keine neuen Wartezeiten.
Beispiel: Kästen tragen im Treppenhaus
- 118 gleiche Kästen sollen in den Keller.
- 2Doppelt so viele Träger halbieren die Zeit ungefähr, wenn alle gleich schnell sind und genug Platz ist.
- 3In einem engen Treppenhaus behindern sich die Träger aber. Dann passt das antiproportionale Modell nur eingeschränkt.
Merke: Prüfe bei Sachaufgaben immer auch die Modellannahmen: gleiche Gesamtarbeit, gleiche Leistung, keine Behinderung. Nur dann beschreibt die Rechnung die Wirklichkeit gut.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Antiproportionale Zuordnung
Erkennen
gegenläufige Änderung und konstantes Produkt
Berechnen
erst k = x \cdot y, dann y = \frac{k}{x}
Darstellen
Wertetabelle mit Produktprobe, Graph ist eine Hyperbel
Abgrenzen
proportional heißt konstanter Quotient
Prüfen
Einheit, Probe und Modellannahmen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie lange reicht das Futter?
- 1Ein Futtervorrat reicht für 12 Pferde 20 Tage. Wie lange reicht er für 15 Pferde, wenn jedes Pferd gleich viel frisst?
- 2Mehr Pferde, weniger Tage: Die Zuordnung ist antiproportional.
- 3Faktor: k = 12 \cdot 20 = 240 Futtertage
- 4Für 15 Pferde: y = \frac{240}{15} = 16
- 5Probe: 15 · 16 = 240. Das Futter reicht 16 Tage.
Fehler finden
3 Pumpen leeren ein Becken in 8 h. Wie lange brauchen 4 gleich starke Pumpen? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Bei einer antiproportionalen Zuordnung teilst du das Produkt durch den neuen Wert: y = \frac{k}{x} = \frac{24}{4} = 6. Vier Pumpen brauchen 6 h, also weniger als drei Pumpen.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt der Wertepaare gleich. Aus x \cdot y = k folgt . Wird x verdoppelt, wird y .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback