Kehrwert verstehen und sicher berechnen

Welche Zahl passt zu \frac{3}{5}, sodass das Produkt 1 wird? Es ist \frac{5}{3}, denn \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=\frac{15}{15}=1. Der Kehrwert wird auch Kehrbruch, Reziproke oder reziproke Zahl genannt. Er ist nicht dasselbe wie die Gegenzahl: Der Kehrwert von 4 ist \frac14, die Gegenzahl von 4 ist -4. Und die Null? Angenommen, es gäbe eine Zahl y mit 0\cdot y=1. Doch 0\cdot y ist für jede Zahl y gleich 0 und niemals 1. Deshalb ist \frac10 nicht definiert. Bei \frac05 würde bloßes Vertauschen zu \frac50 führen. Dieser Ausdruck ist nicht definiert. Das zeigt, warum „einfach umdrehen“ ohne Nullprüfung keine vollständige Regel ist.

Schreibe die Zahl zuerst als Bruch. Dann vertauschst du Zähler und Nenner. Das Vorzeichen bleibt dabei erhalten. Für leichte Zahlen rechnest du im Kopf: 5=\frac51, also ist der Kehrwert \frac15. Bei einer Dezimalzahl hilft oft das Umwandeln in einen gekürzten Bruch. So wird aus 0{,}125=\frac18 sofort der Kehrwert 8. Am Taschenrechner kannst du die Taste 1/x verwenden oder 1 ÷ (Zahl) eingeben. Setze bei negativen Zahlen und längeren Termen Klammern. Runde erst am Ende, weil ein früh gerundeter Wert die Probe verfälschen kann. Die Zahlen 1 und -1 sind ihre eigenen Kehrwerte: 1\cdot1=1 und (-1)\cdot(-1)=1. Bei allen anderen reellen Zahlen unterscheidet sich der Kehrwert von der Ausgangszahl. Prüfe dein Ergebnis mit der Produktprobe: Ausgangszahl mal Kehrwert muss 1 ergeben. Für x > 1 liegt \frac1x zwischen 0 und 1, für 0 < x < 1 ist \frac1x > 1.

Warum gilt „Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren“? Division fragt nach einem Faktor. Bei \frac32:\frac42 suchen wir eine Zahl q, für die \frac42\cdot q=\frac32 gilt. Multipliziere beide Seiten mit dem Kehrwert \frac24 des Divisors \frac42: \frac24\cdot\frac42\cdot q=\frac24\cdot\frac32. Links entsteht 1\cdot q. Deshalb ist q=\frac32\cdot\frac24=\frac68=\frac34. Genau darum ersetzt der Kehrwert die Division durch eine Multiplikation. Allgemein gilt, wenn die Nenner b,d und der Zähler c des Divisors nicht 0 sind: \frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc.

Was passiert, wenn nicht nur eine einzelne Zahl, sondern jeder Funktionswert umgedreht wird? Aus einer Funktion f entsteht die reziproke Funktion r(x)=\frac1{f(x)}. Sie ist nur dort definiert, wo erstens f selbst definiert ist und zweitens f(x)\neq0 gilt. Die grundlegende Kehrwertfunktion k(x)=\frac1x hat den Definitionsbereich x\neq0. Positive Eingaben haben positive Kehrwerte, negative Eingaben negative. Ihr Graph ist eine Hyperbel und nähert sich den Achsen, erreicht aber weder x=0 noch den Funktionswert 0. Die reziproke Funktion \frac1{f(x)} ist nicht automatisch die Umkehrfunktion von f. Bei der reziproken Funktion werden Funktionswerte zu Kehrwerten. Eine Umkehrfunktion vertauscht dagegen die Rollen von Eingabe und Ausgabe.