Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Ortskurve bestimmen: Punkte und Parameter
Eine Ortskurve zeigt, auf welcher Bahn besondere Punkte einer Funktionenschar liegen. Du lernst, den Parameter Schritt für Schritt zu eliminieren.
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Kurz gesagt
Eine Ortskurve ist die Kurve, auf der gleichartige besondere Punkte einer Funktionenschar liegen, zum Beispiel alle Scheitel- oder Wendepunkte. Du bestimmst den Punkt in Abhängigkeit vom Parameter, löst x = x(k) nach k auf und setzt in y = y(k) ein. Aus S(3k \mid 2k - 1) wird so y = \frac{2}{3}x - 1.
Verändert sich der Parameter einer Funktionenschar, wandern auch ihre Hoch-, Tief-, Scheitel- und Wendepunkte. Die Kurve, auf der sie dabei liegen, heißt Ortskurve. Du bestimmst zuerst den besonderen Punkt in Abhängigkeit vom Scharparameter und beseitigst danach den Parameter aus den beiden Koordinatengleichungen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Funktionenschar besteht aus Funktionen, die von einem Scharparameter wie k oder a abhängen. Beim Ableiten nach x behandelst du diesen Parameter wie eine feste Zahl. Die Ortskurve ist nicht ein einzelner Schargraph. Sie verbindet Punkte, die zu verschiedenen Parameterwerten gehören, aber dieselbe Eigenschaft haben.
Definition
Ortskurve
Eine Ortskurve, auch Trägergraph genannt, enthält gleichartige ausgezeichnete Punkte verschiedener Graphen einer Funktionenschar. Das können zum Beispiel alle Scheitelpunkte, alle Extrempunkte oder alle Wendepunkte sein.
Teste dich
Ist ein besonderer Punkt bereits als P(x(k) \mid y(k)) bekannt, gehst du in vier Schritten vor. Schreibe die Koordinaten getrennt als x = x(k) und y = y(k) auf. Löse eine Koordinatengleichung nach k auf. Setze den Ausdruck für k in die andere Koordinatengleichung ein. Vereinfache: Die parameterfreie Beziehung zwischen x und y ist die Ortskurvengleichung.
Beispiel: Scheitelpunkte S(3k \mid 2k - 1)
- 1Koordinaten: x = 3k und y = 2k - 1
- 2Nach k auflösen: k = \frac{x}{3}
- 3Einsetzen: y = 2 \cdot \frac{x}{3} - 1 = \frac{2}{3}x - 1
- 4Die Scheitelpunkte liegen auf der Geraden y = \frac{2}{3}x - 1.
Merke: Beim Eliminieren verschwindet der Parameter, nicht die Koordinate x. Am Ende muss eine Beziehung zwischen x und y stehen.
Teste dich
Bei einer Parabelschar findest du den Scheitelpunkt mit der quadratischen Ergänzung. Aus der Scheitelpunktform liest du ihn direkt ab, danach eliminierst du den Parameter wie gewohnt. Gesucht ist die Ortskurve der Scheitelpunkte von f_k(x) = x^2 + 2kx + 3.
Beispiel: Ortskurve der Scheitelpunkte von f_k(x) = x^2 + 2kx + 3
- 1Quadratische Ergänzung: f_k(x) = (x + k)^2 + 3 - k^2
- 2Scheitelpunkt: S(-k \mid 3 - k^2)
- 3Koordinaten: x = -k und y = 3 - k^2
- 4Aus x = -k folgt k = -x.
- 5Einsetzen: y = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2
- 6Probe mit k = 0: S(0 \mid 3), und die Ortskurve liefert bei x = 0 auch y = 3.
Teste dich
Bei Wendepunkten bestimmst du zuerst den Punkt mit Ableitungen. Danach bleibt die Parameterelimination dieselbe. Gegeben sei f_a(x) = x^3 + 3ax^2 + 4x - 2a. Beim Ableiten nach x bleibt a konstant: f_a'(x) = 3x^2 + 6ax + 4, f_a''(x) = 6x + 6a und f_a'''(x) = 6.
Beispiel: Wendepunkte von f_a(x) = x^3 + 3ax^2 + 4x - 2a
- 1Notwendige Bedingung: 6x + 6a = 0, also x = -a
- 2Hinreichend: f_a'''(-a) = 6 \neq 0, also liegt ein Wendepunkt vor.
- 3f_a(-a) = (-a)^3 + 3a(-a)^2 + 4(-a) - 2a = 2a^3 - 6a
- 4Wendepunkt: W(-a \mid 2a^3 - 6a)
- 5Aus x = -a folgt a = -x.
- 6Einsetzen: y = 2(-x)^3 - 6(-x) = -2x^3 + 6x
Merke: Erst den Punkt bestimmen und prüfen, dann den Parameter eliminieren. Die Wendepunkte liegen hier auf der Ortskurve y = -2x^3 + 6x.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ortskurve
Bedeutung
Bahn gleichartiger besonderer Punkte einer Schar
Schritt 1
besonderen Punkt bestimmen und prüfen
Schritt 2
Koordinaten als x = x(k) und y = y(k) notieren
Schritt 3
Parameter aus einer Koordinate isolieren und in die andere einsetzen
Endkontrolle
nur noch x und y, kein Parameter
Typische Punkte
Scheitel-, Extrem- und Wendepunkte
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ortskurve der Scheitelpunkte von f_k(x) = x^2 + kx + 1
- 1Quadratische Ergänzung: f_k(x) = \left(x + \frac{k}{2}\right)^2 + 1 - \frac{k^2}{4}
- 2Scheitelpunkt: S\left(-\frac{k}{2} \mid 1 - \frac{k^2}{4}\right)
- 3Aus x = -\frac{k}{2} folgt k = -2x.
- 4Einsetzen: y = 1 - \frac{(-2x)^2}{4} = 1 - x^2
- 5Probe mit k = 2: S(-1 \mid 0), und 1 - (-1)^2 = 0 passt.
- 6Die gesuchte Ortskurve ist y = 1 - x^2.
Fehler finden
Ortskurve der Scheitelpunkte S(2k \mid k^2 + 1) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Aus x = 2k folgt k = \frac{x}{2}: Du teilst durch 2, statt mit 2 zu multiplizieren. Richtig ist y = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4}x^2 + 1. Probe mit k = 1: S(2 \mid 2) und \frac{1}{4} \cdot 4 + 1 = 2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zuerst wird der besondere bestimmt. Danach löst du eine nach dem Parameter auf und den Ausdruck in die andere Koordinatengleichung ein.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback