Normalenform von Ebenen einfach erklärt

Stell dir vom festen Ebenenpunkt P zu einem beliebigen Punkt X der Ebene den Verbindungsvektor \vec x-\vec p vor. Dieser Vektor liegt in der Ebene. Deshalb steht er senkrecht auf dem Normalenvektor \vec n. Das Skalarprodukt senkrechter Vektoren ist null: E:\ \vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0 Für Geraden funktioniert dieselbe Idee in \mathbb R^2: Ein Punkt und ein zu der Geraden senkrechter Normalenvektor legen die Gerade fest. In \mathbb R^3 bestimmen ein Punkt und ein Normalenvektor dagegen eine Ebene, nicht eine einzelne Gerade.

Eine Ebene in Parameterform besitzt einen Stützvektor und zwei nicht parallele Spannvektoren: E:\ \vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v Der gesuchte Normalenvektor muss zu \vec u und \vec v senkrecht sein. Das Kreuzprodukt liefert einen solchen Vektor: \vec n=\vec u\times\vec v. Danach setzt du \vec n und \vec p in \vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0 ein. Der Stützvektor bleibt dabei erhalten. Vertauschst du beim Kreuzprodukt die Reihenfolge, erhältst du den Gegenvektor -\vec n. Er beschreibt dieselbe Ebene, denn die ganze Gleichung wird nur mit -1 multipliziert.

Schreibe \vec x mit den Koordinaten x_1, x_2, x_3 und multipliziere das Skalarprodukt aus. Für das Beispiel ergibt sich 19(x_1-7)-30(x_2-1)-13(x_3-3)=0 und zusammengefasst 19x_1-30x_2-13x_3=64. Die Koeffizienten 19, -30 und -13 sind genau die Komponenten des Normalenvektors. Diese Gleichung ist die Koordinatenform derselben Ebene. Mit ihr prüfst du schnell, ob ein Punkt auf der Ebene liegt: Koordinaten einsetzen und vergleichen. Die Punktprobe entscheidet nur über die Zugehörigkeit, einen Abstand berechnet sie nicht.

Gehe beim Umwandeln immer in derselben Reihenfolge vor. Übernimm den Stützvektor \vec p und berechne \vec n=\vec u\times\vec v. Prüfe mit zwei Skalarprodukten, ob \vec n wirklich zu beiden Spannvektoren senkrecht ist. Setze zuerst in die vektorielle Normalenform ein und löse erst danach die Klammern auf. Typische Fehler sind eine übersehene Klammer, ein falsches Vorzeichen in \vec x-\vec p und ein fehlerhaftes Kreuzprodukt. Kehrst du die gesamte Differenz um, gilt \vec p-\vec x=-(\vec x-\vec p), und die Ebene bleibt gleich. Änderst du nur einzelne Vorzeichen, entsteht meist eine andere Ebene.