Rotationskörper: Volumen und Oberfläche berechnen

Die Form eines Rotationskörpers hängt von zwei Dingen ab: von der gedrehten Fläche und von der Rotationsachse. Ein Rechteck, das um eine seiner Seiten rotiert, erzeugt einen Zylinder. Ein rechtwinkliges Dreieck, das um eine Kathete rotiert, erzeugt einen Kegel. Ein Halbkreis, der um seinen Durchmesser rotiert, erzeugt eine Kugel. Bei einer Funktion f auf dem Intervall [a,b] kann die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse um die x-Achse gedreht werden. Der Abstand des Graphen von der Achse wird dabei zum Radius des Körpers. Zum Skizzieren kannst du die Randkurve an der Rotationsachse spiegeln. Kreisförmige Flächen erscheinen in einer räumlichen Zeichnung meist als Ellipsen.

Warum wird die Funktion in der Volumenformel quadriert? Teile das Intervall [a,b] in sehr schmale Abschnitte der Breite \Delta x. Bei der Rotation entsteht über jedem Abschnitt eine dünne Zylinderscheibe mit Radius r=|f(x)|, Grundfläche \pi r^2=\pi(f(x))^2 und Dicke \Delta x. Durch das Quadrieren ist es egal, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt. Das Scheibenvolumen ist ungefähr \Delta V=\pi(f(x))^2\Delta x. Je schmaler die Scheiben, desto genauer wird die Summe. Im Grenzfall entsteht das Integral. Beim Rechnen: Funktion und Grenzen bestimmen, den ganzen Funktionsterm quadrieren, eine Stammfunktion bilden, obere minus untere Einsetzung berechnen, mit \pi multiplizieren. Ist f gerade, ist der Körper symmetrisch: Du kannst dann von 0 bis b integrieren und das Ergebnis verdoppeln.

Liegt die rotierende Fläche zwischen zwei Graphen, entsteht ein Hohlkörper. Dabei beschreibt f(x) den äußeren und g(x) den inneren Radius. Im ganzen Intervall muss der äußere Radius mindestens so groß sein wie der innere. Der Querschnitt ist ein Kreisring mit der Fläche A(x)=\pi f(x)^2-\pi g(x)^2. Daraus folgt V=\pi\int_a^b\left(f(x)^2-g(x)^2\right)dx.

Rotation um die y-Achse: Verwendest du Scheiben senkrecht zur y-Achse, integrierst du nach y. Dafür musst du den Radius als Funktion von y ausdrücken. Ist f im betrachteten Intervall stetig und streng monoton, besitzt sie dort eine eindeutige Umkehrfunktion f^{-1}. Für die Fläche zwischen Kurve und y-Achse gilt dann V=\pi\int_{\min\{f(a),f(b)\}}^{\max\{f(a),f(b)\}}\left(f^{-1}(y)\right)^2\,dy. Die Integrationsgrenzen sind nun y-Werte. Entstehen beim Auflösen mehrere Äste, musst du den Ast wählen, der zum betrachteten x-Intervall gehört. Mantel ist nicht Gesamtoberfläche: Die Mantelfläche entsteht durch die Rotation der Randkurve. Für eine nichtnegative, differenzierbare Funktion bei Rotation um die x-Achse gilt M=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx. Dabei ist 2\pi f(x) der Umfang des jeweiligen Querschnittskreises. Der Faktor \sqrt{1+(f'(x))^2} berücksichtigt die Länge der schräg verlaufenden Kurve. Zur gesamten Oberfläche können zusätzlich Grund- und Deckfläche gehören: O=G+D+M. Bei zusammengesetzten Körpern zählen verdeckte Kontaktflächen nicht zur äußeren Oberfläche.