Matrizenmultiplikation: Zeile mal Spalte

Eine m\times n-Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Bei einem Eintrag a_{ij} nennt der erste Index i die Zeile und der zweite Index j die Spalte. Das Dimensionsschema lautet: (m\times n)(n\times p)\longrightarrow(m\times p) Die beiden inneren Dimensionen müssen gleich sein. Die beiden äußeren Dimensionen bestimmen die Größe des Ergebnisses.

Steht C=AB, dann entsteht der Eintrag c_{ik} aus der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B. Du multiplizierst den ersten Eintrag der Zeile mit dem ersten der Spalte, den zweiten mit dem zweiten und so weiter, und addierst die Teilprodukte: c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk} Die Summe hat so viele Teilprodukte, wie A Spalten hat, also genauso viele, wie B Zeilen hat. Gehe immer gleich vor: Dimensionen notieren, innen vergleichen, außen die Ergebnisdimension ablesen, dann jeden Eintrag als Zeile-mal-Spalte-Summe berechnen. Zum Schluss prüfst du Platz und Vorzeichen jedes Eintrags. Nur die Einträge an gleicher Stelle zu multiplizieren ist ein anderes Produkt und nicht die Matrizenmultiplikation.

Bei gewöhnlichen Zahlen gilt a\cdot b=b\cdot a. Bei Matrizen gilt das im Allgemeinen nicht: AB\ne BA. Man sagt, die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Schon die Dimensionen können sich unterscheiden. Für A mit m\times n und B mit n\times m hat AB die Dimension m\times m, aber BA die Dimension n\times n. Auch bei quadratischen Matrizen können verschiedene Ergebnisse entstehen.

Eine Matrix kann beschreiben, wie sich ein Zustand von einem Schritt zum nächsten verändert. Ein Zustandsvektor sammelt dazu die Anteile oder Mengen der einzelnen Zustände. Gilt v_{k+1}=Uv_k, dann wird die Übergangsmatrix U von links mit dem aktuellen Zustandsvektor multipliziert. Wirkt dieselbe Matrix mehrmals, schreibst du sie als Potenz: U^3=U\cdot U\cdot U. Matrixpotenzen gibt es nur für quadratische Matrizen. Im Beispiel ergeben die Komponenten jedes Zustandsvektors zusammen 1, etwa 0{,}37+0{,}63=1. Das passt zur Deutung als vollständige Verteilung.