Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Matrizen verstehen und sicher berechnen
Matrizen ordnen Zahlen in Zeilen und Spalten. Du lernst Dimension und Einträge, eintragsweises Rechnen, Produkte mit Vektoren und das Transponieren.
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Kurz gesagt
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten, kurz eine m\times n-Matrix. Addieren darfst du nur Matrizen gleicher Dimension, Eintrag für Eintrag. Beim Produkt AB muss die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B sein; dann rechnest du Zeile mal Spalte.
Matrizen ordnen Zahlen oder Variablen in Zeilen und Spalten. Du kannst mit ihnen viele zusammengehörige Werte übersichtlich speichern und gemeinsam verarbeiten. Entscheidend ist dabei die Dimension: Sie zeigt dir, welche Rechnung möglich ist und welche Form das Ergebnis hat.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten hat die Dimension m\times n. Die Zeilenzahl steht immer zuerst. Einige Matrixformen erkennst du an ihrem Aufbau: Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen und Spalten. Eine Nullmatrix enthält ausschließlich Nullen. Eine Diagonalmatrix ist quadratisch und enthält außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. Eine Einheitsmatrix besitzt Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen außerhalb, zum Beispiel E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Definition
Matrix
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen oder Variablen in Zeilen und Spalten. Hat sie m Zeilen und n Spalten, ist sie eine m\times n-Matrix. Der Eintrag a_{ij} steht in Zeile i und Spalte j.
Beispiel: Dimension und Eintrag bestimmen
- 1A=\begin{pmatrix}1&5&7\\3&4&2\end{pmatrix}
- 22 Zeilen, 3 Spalten: A ist eine 2\times3-Matrix.
- 3a_{21}: zweite Zeile, erste Spalte, also a_{21}=3.
Merke: Bei a_{ij} nennt der erste Index die Zeile, der zweite die Spalte. Bei m\times n gilt dieselbe Reihenfolge.
Teste dich
Du darfst zwei Matrizen nur dann addieren oder subtrahieren, wenn sie dieselbe Dimension haben. Danach verrechnest du jeweils die Einträge an derselben Position. Eine einzelne Zahl vor einer Matrix heißt Skalar. Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du jeden Matrixeintrag mit dieser Zahl.
Beispiel: A+B berechnen
- 1A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&2\end{pmatrix} und B=\begin{pmatrix}2&5\\3&1\end{pmatrix}, beide 2\times2
- 2A+B=\begin{pmatrix}1+2&3+5\\-1+3&2+1\end{pmatrix}
- 3A+B=\begin{pmatrix}3&8\\2&3\end{pmatrix}, wieder eine 2\times2-Matrix
Beispiel: Mit dem Skalar -3 multiplizieren
- 1-3\begin{pmatrix}4&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12&-6\\0&3\end{pmatrix}
- 2Vorsicht beim letzten Eintrag: -3\cdot(-1)=3
Teste dich
Ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit genau einer Spalte. Eine m\times n-Matrix kannst du mit einem Spaltenvektor aus n Einträgen multiplizieren. Das Ergebnis hat m Einträge. Für jeden Ergebniseintrag nimmst du eine Matrixzeile: passende Zahlen paarweise multiplizieren, dann die Produkte addieren. Zwei Matrizen multiplizierst du nach demselben Prinzip Zeile mal Spalte. Dafür müssen die inneren Dimensionen übereinstimmen: (m\times n)(n\times k) ergibt eine m\times k-Matrix. Die Reihenfolge ist wichtig. Im Allgemeinen gilt AB\ne BA, und manchmal ist nur eine der beiden Reihenfolgen überhaupt möglich.
Beispiel: Ax berechnen
- 1A=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&4&1\end{pmatrix} und x=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}
- 2Dimensionen: (2\times3)(3\times1), das Ergebnis hat 2 Einträge.
- 3Zeile 1 mal x: 2\cdot1+1\cdot2+3\cdot(-1)=1
- 4Zeile 2 mal x: 0\cdot1+4\cdot2+1\cdot(-1)=7
- 5Ax=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}
Merke: Prüfe vor jedem Produkt die inneren Zahlen: (m\times n)(n\times k). Die äußeren Zahlen geben die Dimension des Ergebnisses an, m\times k. Beim Vektor ist k=1.
Teste dich
Beim Transponieren vertauschst du Zeilen und Spalten. Aus einer m\times n-Matrix A wird die n\times m-Matrix A^T. Bei einer quadratischen Matrix bleibt die Dimension gleich, die Einträge können aber den Platz wechseln. Matrizen stellen außerdem lineare Gleichungssysteme kompakt dar. In Ax=b enthält A die Koeffizienten, x die Variablen und b die rechten Seiten. Auch Datentabellen, die Pixelwerte eines Bildes oder Übergänge zwischen Zuständen lassen sich als Matrix speichern.
Beispiel: Eine 2\times2-Matrix transponieren
- 1\begin{pmatrix}2&3\\5&1\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}2&5\\3&1\end{pmatrix}
- 2Die erste Zeile mit 2 und 3 wird zur ersten Spalte.
Beispiel: Ein LGS in Matrixform
- 1I: -x_1+2x_2+0x_3=0
- 2II: x_1+x_2+x_3=34
- 3III: 10x_1+5x_2+x_3=100
- 4\begin{pmatrix}-1&2&0\\1&1&1\\10&5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\34\\100\end{pmatrix}
- 5Die Koeffizienten bleiben in ihrer Reihenfolge, die rechten Seiten bilden den Vektor b.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Matrizen
Aufbau
Zeilen, Spalten, Dimension und Einträge
Spezialformen
Null-, Diagonal- und Einheitsmatrix
Eintragsweise
Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation
Produkte
innere Dimensionen und Zeile-mal-Spalte-Prinzip
Transposition
Zeilen und Spalten tauschen
Anwendung
Daten und lineare Gleichungssysteme darstellen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\\1&4\end{pmatrix} mit x=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} multiplizieren
- 1Dimensionen: (3\times2)(2\times1), innen 2 und 2, das Produkt ist definiert.
- 2Außen stehen 3 und 1: Das Ergebnis ist ein Vektor mit 3 Einträgen.
- 3Zeile 1: 2 · 5 + (−1) · 2 = 8
- 4Zeile 2: 0 · 5 + 3 · 2 = 6
- 5Zeile 3: 1 · 5 + 4 · 2 = 13
- 6Ax=\begin{pmatrix}8\\6\\13\end{pmatrix}
Fehler finden
\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix} berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Minus mal Minus ergibt Plus: -2\cdot(-1)=2. Oben rechts gilt also 1 − 2 · (−1) = 1 + 2 = 3, das Ergebnis ist \begin{pmatrix}2&3\\-6&3\end{pmatrix}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Addieren darfst du nur Matrizen mit Dimension. Beim Produkt AB müssen die Dimensionen übereinstimmen. Beim Transponieren werden Zeilen und vertauscht.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback