Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Parameterform: Geraden und Ebenen verstehen
Die Parameterform beschreibt Geraden und Ebenen als Aufpunkt plus Richtungen. Du stellst sie aus Punkten auf, machst Punktproben und wandelst sie um.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Parameterform beschreibt eine Gerade als \vec x=\vec p+t\vec v und eine Ebene als \vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v. Dabei ist \vec p der Stützvektor zu einem bekannten Punkt, \vec v bzw. \vec u und \vec v sind die Richtungen, und die Parameter t, r, s durchlaufen alle reellen Zahlen.
Stell dir vor, du stehst an einem festen Punkt und darfst nur in eine bestimmte Richtung laufen, beliebig weit vor oder zurück. Alle Orte, die du so erreichst, bilden eine Gerade. Darfst du in zwei unabhängige Richtungen laufen, erreichst du eine ganze Ebene. Genau das schreibt die Parameterform auf: Aufpunkt plus veränderliche Richtungen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Gerade entsteht, wenn du von einem festen Punkt aus beliebig weit in eine Richtung oder in die Gegenrichtung gehst. Ihre Parameterform lautet g: \vec x=\vec p+t\vec v mit t \in \mathbb{R}. Der Parameter t darf jede reelle Zahl annehmen. Bei t=0 landest du im Aufpunkt, positive und negative Werte führen in die beiden Richtungen. Sind zwei Punkte gegeben, nimmst du einen als Aufpunkt und bildest den Verbindungsvektor nach der Regel „Ziel minus Ausgang“.
Definition
Stütz- und Richtungsvektor
Der Stützvektor \vec p ist der Ortsvektor eines bekannten Punktes der Geraden. Er legt fest, wo die Gerade liegt. Der Richtungsvektor \vec v gibt ihren Verlauf an und darf nicht der Nullvektor sein.
Beispiel: Gerade durch A(1 \mid 2) und B(4 \mid -1)
- 1Aufpunkt A, Stützvektor \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
- 2\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4-1\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}
- 3g: \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}
- 4Für t=2: \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}, also liegt (7 \mid -4) auf g.
Teste dich
Eine Ebene im Raum braucht neben dem Aufpunkt zwei Richtungen. Ihre Parameterform lautet E: \vec x=\vec p+r\vec u+s\vec v mit r, s \in \mathbb{R}. Mit den beiden Parametern kombinierst du die Richtungen unabhängig voneinander. Aus drei Punkten A, B, C, die nicht auf einer Geraden liegen, nimmst du A als Aufpunkt und bildest B-A und C-A. Ob die Spannvektoren unabhängig sind, zeigt auch das Kreuzprodukt: Ist es nicht der Nullvektor, sind sie es.
Definition
Spannvektoren
Die Spannvektoren \vec u und \vec v geben zwei Richtungen innerhalb der Ebene an. Sie müssen linear unabhängig sein: Keiner darf ein Vielfaches des anderen sein.
Beispiel: Ebene durch A(1 \mid 1 \mid 1), B(-2 \mid 1 \mid 2) und C(3 \mid 2 \mid 0)
- 1\overrightarrow{AB}=B-A=\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}
- 2\overrightarrow{AC}=C-A=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}
- 3E: \vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}
- 4Kontrolle: \begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-3\end{pmatrix} ist nicht der Nullvektor.
Teste dich
Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes für \vec x ein. So entsteht für jede Koordinate eine Gleichung. Du suchst Parameterwerte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Gibt es sie, liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene. Führen zwei Gleichungen auf Werte, die in der dritten nicht passen, liegt er nicht darauf. Für B(-2 \mid 1 \mid 2) in der Ebene oben klappt es mit r=1 und s=0.
Beispiel: Liegt Q(1 \mid 2 \mid 1) auf E?
- 1Zweite Koordinate: 1+s=2, also s=1
- 2Dritte Koordinate: 1+r-s=1, also r=1
- 3Erste Koordinate: 1-3 \cdot 1+2 \cdot 1=0, aber Q hat 1
- 4Kein gemeinsames Paar (r, s): Q liegt nicht auf E.
Merke: Ein Punkt gehört nur dann zur Geraden oder Ebene, wenn dieselben Parameterwerte alle Koordinatengleichungen erfüllen.
Teste dich
Für die Koordinatenform brauchst du einen Normalenvektor \vec n, der auf beiden Spannvektoren senkrecht steht. Du bekommst ihn mit dem Kreuzprodukt der Spannvektoren. Seine Komponenten werden die Koeffizienten der Koordinatenform, die rechte Seite bestimmst du durch Einsetzen des Aufpunkts. Einen Normalenvektor darfst du mit jeder Zahl außer 0 multiplizieren, seine Richtung bleibt gleich. Für den Rückweg bestimmst du drei nicht kollineare Punkte der Ebene und bildest wie oben zwei Spannvektoren.
Beispiel: E: \vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} umwandeln
- 1Normalenvektor: \vec n=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-3\end{pmatrix}
- 2Aufpunkt einsetzen: -1-1-3 \cdot 1=-5
- 3Also -x-y-3z=-5, mal (-1): x+y+3z=5
- 4Probe mit B: -2+1+3 \cdot 2=5
- 5Probe mit C: 3+2+3 \cdot 0=5
Merke: Senkrecht auf beiden Spannvektoren heißt: Beide Skalarprodukte mit \vec n sind 0. Die Punktprobe mit dem Aufpunkt sichert die richtige Lage.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Parameterform
Gerade
Aufpunkt und eine Richtung
Ebene
Aufpunkt und zwei linear unabhängige Richtungen
Aufstellen
Verbindungsvektoren als Ziel minus Ausgang bilden
Punktprobe
dieselben Parameter müssen alle Gleichungen erfüllen
Umformen
Normalenvektor per Kreuzprodukt, dann Aufpunkt einsetzen
Fehlerkontrolle
Vorzeichen und Unabhängigkeit prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gerade durch A(2 \mid 0 \mid 1) und B(4 \mid 1 \mid -1), liegt P(8 \mid 3 \mid -5) darauf?
- 1\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4-2\\1-0\\-1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}
- 2g: \vec x=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}
- 3Erste Koordinate: 2+2t=8, also t=3
- 4Zweite Koordinate: 0+t=3, also t=3
- 5Dritte Koordinate: 1-2t=-5, also t=3
- 6Alle drei liefern t=3: P liegt auf g.
Fehler finden
Gerade durch A(3 \mid -1 \mid 2) und B(1 \mid 4 \mid -2) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Minus minus ergibt plus: 4-(-1)=4+1=5. Richtig ist \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix} und g: \vec x=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-2\\5\\-4\end{pmatrix}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Eine Gerade braucht einen Stützvektor und einen . Eine Ebene braucht zusätzlich einen zweiten, Spannvektor. Bei der Punktprobe müssen die Parameterwerte Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback