Normalenvektor bestimmen und prüfen

Ein Vektor beschreibt eine Richtung und eine Länge. Wo er in einer Zeichnung liegt, ist egal: Du darfst ihn parallel verschieben. Bei einer Ebene steht der Normalenvektor senkrecht auf jeder Richtung innerhalb der Ebene. Deshalb genügt es, seine Orthogonalität zu zwei unabhängigen Spannvektoren der Ebene zu prüfen. Ein Normalenvektor ist nicht eindeutig. Ist \vec n ein Normalenvektor, dann ist auch c\vec n für jede reelle Zahl c\ne 0 einer. So beschreiben (-2,3,-16) und (2,-3,16) dieselbe Normalenrichtung, nur mit entgegengesetzter Orientierung.

Die passende Methode hängt davon ab, wie die Gerade oder Ebene dargestellt ist. Steht eine Ebene in Koordinatenform ax+by+cz=d, bilden die Koeffizienten vor x, y und z einen Normalenvektor: \vec n=(a,b,c). Die Zahl d rechts spielt dafür keine Rolle. In der Normalenform \vec n\cdot(\vec x-\vec a)=0 steht \vec n schon ausdrücklich da. Der Vektor \vec a gehört zu einem Punkt der Ebene. Hat eine Gerade in der Ebene \mathbb R^2 den Richtungsvektor (a,b), dann sind (-b,a) und (b,-a) Normalenvektoren: Du vertauschst die Komponenten und änderst bei einer das Vorzeichen. Für eine Gerade der Form ax+by=d ist (a,b) direkt ein Normalenvektor. Bei einer Geraden im Raum gibt es dagegen nicht nur eine Normalenrichtung: Jeder Vektor \vec n\ne\vec 0 mit \vec n\cdot\vec v=0 steht senkrecht auf ihrem Richtungsvektor \vec v.

Eine Ebene in Parameterform \vec x=\vec a+\lambda\vec u+\mu\vec v hat einen Stützvektor \vec a und zwei unabhängige Spannvektoren \vec u und \vec v. Der Stützvektor legt nur einen Punkt fest. Für die Normalenrichtung brauchst du die beiden Spannvektoren: \vec n=\vec u\times\vec v. Für \vec u=(u_1,u_2,u_3) und \vec v=(v_1,v_2,v_3) gilt \vec u\times\vec v=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1). Sind \vec u und \vec v parallel, ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor. Dann spannen sie keine Ebene auf, und das Ergebnis ist kein Normalenvektor.

Verlass dich nicht allein auf das Kreuzprodukt. Prüfe den berechneten Vektor mit zwei Skalarprodukten. Ist \vec n ein Normalenvektor der von \vec u und \vec v aufgespannten Ebene, dann gilt \vec n\cdot\vec u=0 und \vec n\cdot\vec v=0. Bei einer Ebene müssen beide Skalarprodukte 0 sein. Kommt beim Kreuzprodukt \vec 0 heraus, sind die Spannvektoren parallel oder du hast dich verrechnet.