Radioaktiver Zerfall: Formel und Halbwertszeit

Der Zerfallszeitpunkt eines einzelnen instabilen Atomkerns lässt sich nicht vorhersagen. Bei sehr vielen Kernen zeigt sich trotzdem ein regelmäßiger Verlauf: In gleich langen Zeitabschnitten zerfällt im Mittel derselbe Anteil der noch vorhandenen Kerne. Der Bestand wird also nicht in gleichen Schritten kleiner, sondern in gleichen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor zwischen 0 und 1 multipliziert. Das Minuszeichen im Zerfallsgesetz sorgt für die Abnahme: Da \lambda>0 und t\geq 0 gelten, ist der Faktor e^{-\lambda t} höchstens 1 und wird mit der Zeit kleiner. Die Einheit von \lambda muss zur Zeiteinheit von t passen. Misst du t in Sekunden, hat \lambda die Einheit \mathrm{s^{-1}}, und \lambda t ist einheitenlos. Die zugehörige Änderungsrate lautet \frac{dN}{dt}=-\lambda N. Je mehr Kerne noch da sind, desto stärker ist also die erwartete momentane Abnahme.

Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der aktuelle Bestand erneut: Nach T_{1/2} bleiben \frac12 N_0 (50 %), nach 2T_{1/2} bleiben \frac14 N_0 (25 %), nach 3T_{1/2} bleiben \frac18 N_0 (12,5 %). Die Halbwertszeitform des Zerfallsgesetzes lautet N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}. Sie ist gleichwertig zur Form mit der Zerfallskonstante. Zwischen beiden Größen gilt \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}} und damit T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.

Bei einer Zerfallsaufgabe stellst du zuerst das Modell auf. Ist bekannt, welcher Anteil nach einer festen Zeitspanne übrig bleibt, nimmst du diesen Anteil als Basis und zählst im Exponenten, wie viele Zeitspannen vergangen sind. Ist ein Zeitpunkt gesucht, steht die Unbekannte im Exponenten. Dann isolierst du die Potenz und logarithmierst beide Seiten. Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis plausibel ist.

Bei Messwerten prüfst du die Quotienten aufeinanderfolgender Bestände: q_i=\frac{N(t_{i+1})}{N(t_i)}. Sind die Zeitabstände gleich und die Quotienten ungefähr konstant, passt ein exponentielles Modell. Kleine Abweichungen entstehen durch Messunsicherheit und zufällige Schwankungen. Für einen konstanten Zeitabstand \Delta t und einen Zerfallsfaktor q gilt N(t)=N_0\cdot q^{t/\Delta t}, und die Halbwertszeit folgt aus T_{1/2}=\Delta t\cdot\frac{\ln(1/2)}{\ln q}. Ein Modell sagt nicht jeden einzelnen Kern voraus: Bei wenigen Kernen schwanken die Bestände sichtbar um den erwarteten Verlauf, bei sehr vielen Kernen fallen die relativen Schwankungen kaum auf. Statt der Kerne misst man oft die Aktivität. Da der Bestand abnimmt, ist dN/dt negativ, deshalb gilt A=-\frac{dN}{dt}=\lambda N. Mit A_0=\lambda N_0 folgt das Aktivitätsgesetz A(t)=A_0e^{-\lambda t}. Bestand und Aktivität haben also dieselbe Halbwertszeit. Sie sind aber verschiedene Größen: N zählt die noch vorhandenen Kerne, A die Zerfälle pro Sekunde.