Logarithmus einfach erklärt: Regeln und Gleichungen

Bei einer Potenz können verschiedene Größen gesucht sein: Ist der Potenzwert gesucht, potenzierst du. Ist bei bekanntem Exponenten die Basis gesucht, kann eine Wurzel helfen. Ist bei bekannter Basis der Exponent gesucht, verwendest du den Logarithmus.

Für reelle Logarithmen gelten drei Bedingungen: a>0, \qquad a\ne1, \qquad b>0 Dabei ist a die Basis und b das Argument. Warum sind diese Bedingungen nötig? Eine positive Basis liefert keine Potenzwerte kleiner oder gleich null. Deshalb muss das Argument positiv sein. Für die Basis 1 gilt stets 1^x=1. Der Exponent wäre bei Argument 1 nicht eindeutig bestimmbar; andere positive Argumente würden gar nicht erreicht. Negative Basen liefern im reellen Bereich keine für alle Exponenten geeignete, eindeutige Umkehrung. Ein Logarithmuswert darf trotzdem negativ sein. Es gilt zum Beispiel: 5^{-3}=0{,}008 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_5(0{,}008)=-3 Das Argument 0{,}008 ist positiv und daher zulässig.

Übersetze die Logarithmusfrage zurück in eine Potenzfrage: \log_a(b)=? \quad\Longleftrightarrow\quad a^{?}=b Nützliche Sonderwerte sind: \log_a(1)=0,\qquad \log_a(a)=1,\qquad \log_a(a^n)=n Sie folgen direkt aus a^0=1, a^1=a und der Definition des Logarithmus. Häufig verwendete Basen haben eigene Bezeichnungen: \lg(x)=\log_{10}(x) ist der dekadische Logarithmus. \ln(x)=\log_e(x) ist der natürliche Logarithmus mit e\approx2{,}718. \log_2(x) heißt binärer oder dualer Logarithmus. Die Schreibweise log ohne angegebene Basis wird nicht überall gleich verwendet. Prüfe deshalb die Festlegung in deiner Aufgabe oder am Taschenrechner. Für dieselbe zulässige Basis a und positive Argumente u und v gelten drei zentrale Regeln. Produktregel: \log_a(uv)=\log_a(u)+\log_a(v) Ein Produkt im Argument wird zu einer Summe von Logarithmen. Quotientenregel: \log_a\left(\frac{u}{v}\right)=\log_a(u)-\log_a(v) Ein Quotient im Argument wird zu einer Differenz. Potenzregel: \log_a(u^r)=r\log_a(u) Der Exponent vor dem Argument wird zum Faktor vor dem Logarithmus.

Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten. Bringe die Gleichung zuerst möglichst in die Form a^x=b Dann gilt unmittelbar: x=\log_a(b) Lässt sich das Ergebnis nicht als bekannte Potenz erkennen, hilft der Basiswechsel. Für eine beliebige gemeinsam verwendete Hilfsbasis gilt: \log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)} Ebenso kannst du statt \ln den dekadischen Logarithmus verwenden. Auch in Wachstumsmodellen kann der gesuchte Exponent eine Zeit angeben. Bei K=K_0q^x isolierst du zuerst die Potenz: \frac{K}{K_0}=q^x Dann folgt: x=\log_q\left(\frac{K}{K_0}\right)