Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kugel: Umfang, Oberfläche und Volumen berechnen
Eine Kugel ist rund, ohne Ecken und Kanten. Du lernst, Umfang, Oberfläche und Volumen zu berechnen und aus ihnen den Radius zu bestimmen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Kugel ist ein Körper, bei dem jeder Punkt der Oberfläche denselben Abstand r vom Mittelpunkt hat. Ihre Oberfläche berechnest du mit O = 4\pi r^2, ihr Volumen mit V = \frac{4}{3}\pi r^3. Bei r = 6\,\mathrm{cm} sind das etwa 452{,}4\,\mathrm{cm}^2 und 904{,}8\,\mathrm{cm}^3.
Eine Kugel ist ein räumlicher Körper mit einem Mittelpunkt: Jeder Punkt ihrer Oberfläche hat von diesem Mittelpunkt denselben Abstand. Dieser Abstand ist der Radius. Mit dem Radius kannst du Umfang, Oberfläche und Volumen berechnen – und aus gegebenen Ergebnissen den Radius zurückgewinnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir einen Ball oder eine Murmel vor. Eine Kugel hat eine zusammenhängende, überall runde Oberfläche, aber keine Kanten und keine Ecken. Der Durchmesser d verläuft von einer Seite der Oberfläche durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Seite. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d = 2r und umgekehrt r = \frac{d}{2}.
Definition
Kugel
Eine Kugel besitzt einen Mittelpunkt M. Alle Punkte ihrer Oberfläche haben vom Mittelpunkt denselben Abstand r. Diesen Abstand nennt man Radius.
Beispiel: Radius bei d = 18\,\mathrm{cm}
- 1r = \frac{18\,\mathrm{cm}}{2} = 9\,\mathrm{cm}
- 2Probe: 2 \cdot 9\,\mathrm{cm} = 18\,\mathrm{cm}
Teste dich
Bei einer Kugel kommen drei verschiedene Größen vor. Entscheide vor dem Rechnen, welche davon gesucht ist. Mit Kugelumfang ist der Umfang eines Großkreises gemeint: ein Kreis auf der Oberfläche, dessen Ebene durch den Mittelpunkt geht. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst. Setz den Radius mit Einheit ein, runde erst am Ende und prüf die Einheit.
| Größe | Bedeutung | Formel | Einheit |
|---|---|---|---|
| Großkreisumfang U | Länge um die breiteste Stelle | U = 2\pi r = \pi d | \mathrm{cm} |
| Oberfläche O | gesamter Flächeninhalt außen | O = 4\pi r^2 | \mathrm{cm}^2 |
| Volumen V | Rauminhalt der Kugel | V = \frac{4}{3}\pi r^3 | \mathrm{cm}^3 |
Merke: Länge braucht eine Längeneinheit, Oberfläche eine Quadrateinheit und Volumen eine Kubikeinheit. Die Exponenten 1, 2 und 3 in den Einheiten passen zu r, r^2 und r^3.
Beispiel: Kugel mit d = 12\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r = 12\,\mathrm{cm} : 2 = 6\,\mathrm{cm}
- 2U = 2\pi \cdot 6\,\mathrm{cm} \approx 37{,}7\,\mathrm{cm}
- 3O = 4\pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^2 = 144\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 452{,}4\,\mathrm{cm}^2
- 4V = \frac{4}{3}\pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^3 = 288\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx 904{,}8\,\mathrm{cm}^3
Teste dich
Ist die Oberfläche oder das Volumen gegeben, stellst du die Formel nach r um. Aus O = 4\pi r^2 folgt r = \sqrt{\frac{O}{4\pi}}. Aus V = \frac{4}{3}\pi r^3 folgt r = \sqrt[3]{\frac{V}{\frac{4}{3}\pi}}. Weil ein Radius nicht negativ sein kann, nimmst du bei der Oberfläche nur die positive Wurzel.
Beispiel: Radius aus O = 576\pi\,\mathrm{cm}^2
- 1r = \sqrt{\frac{576\pi\,\mathrm{cm}^2}{4\pi}} = \sqrt{144\,\mathrm{cm}^2} = 12\,\mathrm{cm}
- 2Probe: 4\pi \cdot (12\,\mathrm{cm})^2 = 576\pi\,\mathrm{cm}^2
Beispiel: Radius aus V = 288\pi\,\mathrm{cm}^3
- 1r^3 = \frac{288\pi\,\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3}\pi} = 216\,\mathrm{cm}^3
- 2r = \sqrt[3]{216\,\mathrm{cm}^3} = 6\,\mathrm{cm}
- 3Dritte Wurzel, weil der Radius in der Formel hoch drei steht
Teste dich
Schneidet eine Ebene eine Kugel, ist die Schnittfläche ein Kreis. Geht die Ebene durch den Mittelpunkt, entsteht der größtmögliche Schnittkreis, ein Großkreis, mit dem Kugelradius als Radius. Halbierst du die Kugel so, erhältst du eine Halbkugel mit dem halben Volumen. Bei ihrer Oberfläche musst du genau lesen: nur die gewölbte Außenfläche oder auch die kreisförmige Grundfläche? Typische Fehler vermeidest du mit drei Fragen: Radius oder Durchmesser? Oberfläche oder Volumen? Passt die Einheit, also \mathrm{cm}, \mathrm{cm}^2 oder \mathrm{cm}^3?
Beispiel: Halbkugel mit r = 3\,\mathrm{cm}
- 1V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot (3\,\mathrm{cm})^3
- 2V = 18\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx 56{,}5\,\mathrm{cm}^3
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kugel
Aufbau
Mittelpunkt, Radius r, Durchmesser d = 2r, keine Kanten
Länge
Großkreisumfang U = 2\pi r
Fläche
Oberfläche O = 4\pi r^2
Raum
Volumen V = \frac{4}{3}\pi r^3
Rückwärts
Quadratwurzel bei O, dritte Wurzel bei V
Prüfen
Radius, Einheit und Plausibilität
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Pampelmuse als Kugel mit d = 12\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r = 12\,\mathrm{cm} : 2 = 6\,\mathrm{cm}
- 2Oberfläche: O = 4\pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^2 = 144\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 452{,}39\,\mathrm{cm}^2
- 3Volumen: V = \frac{4}{3}\pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^3 = 288\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx 904{,}78\,\mathrm{cm}^3
- 4Das sind rund 0,9 Liter.
Fehler finden
Volumen einer Kugel mit r = 3\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der Radius muss hoch drei genommen werden: 3^3 = 27. Richtig ist V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27\,\mathrm{cm}^3 = 36\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx 113{,}1\,\mathrm{cm}^3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Großkreisumfang wird mit berechnet, die Oberfläche mit und das Volumen mit .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback