Kotangens: Definition, Werte und Aufgaben

Bezogen auf einen spitzen Winkel \alpha heißen die beiden kürzeren Seiten: Gegenkathete: Sie liegt dem Winkel \alpha gegenüber. Ankathete: Sie liegt am Winkel \alpha an. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie kommt in der Kotangensformel nicht vor. Das Verhältnis hängt nur vom Winkel ab. Vergrößerst oder verkleinerst du ein rechtwinkliges Dreieck, ändern sich beide Katheten im gleichen Maß und ihr Verhältnis bleibt gleich.

Kennst du einen spitzen Winkel und eine Kathete, kannst du die Kotangensgleichung nach der fehlenden Kathete umstellen. Für allgemeine Winkel wird der Kotangens über Sinus und Kosinus definiert: \cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} Viele Taschenrechner besitzen keine eigene COT-Taste. Wenn der Tangens definiert und nicht null ist, rechnest du \cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}, zum Beispiel \cot(60^\circ)=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}. Achte auf das Winkelmaß: DEG für Winkel in Grad, RAD für Winkel im Bogenmaß. Die Standardwerte in der Tabelle solltest du erkennen.

Der Tangens vertauscht Zähler und Nenner: \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}. Deshalb gilt auf dem gemeinsamen Definitionsbereich \cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}. Weil bei \cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} der Sinus im Nenner steht, darf \sin(\alpha) nicht null sein. Der Kotangens ist daher bei allen ganzzahligen Vielfachen von 180^\circ nicht definiert: \alpha=k\cdot180^\circ\quad\text{mit }k\in\mathbb Z Im Bogenmaß sind das die Winkel \alpha=k\pi. Dort besitzt der Graph senkrechte Asymptoten. Die Vorzeichen folgen aus den Vorzeichen von Kosinus und Sinus: Im dritten Quadranten sind Sinus und Kosinus beide negativ. Ihr Quotient ist deshalb positiv. Weitere Eigenschaften: Der Kotangens hat die Periode 180^\circ beziehungsweise \pi. Es gilt \cot(\alpha+180^\circ)=\cot(\alpha). Zwischen zwei benachbarten Definitionslücken fällt der Graph streng. Die Nullstellen liegen bei 90^\circ+k\cdot180^\circ. Der Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen.