Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Lagebeziehung von Ebenen bestimmen
Zwei Ebenen sind identisch, echt parallel oder schneiden sich in einer Geraden. Du lernst den Normalenvergleich und berechnest Schnittgeraden.
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Kurz gesagt
Zwei Ebenen sind identisch, echt parallel oder schneiden sich in einer Geraden. In Koordinatenform vergleichst du die Normalenvektoren: Sind sie keine Vielfachen, schneiden sich die Ebenen. Sind sie Vielfache, entscheidet die rechte Seite: derselbe Faktor heißt identisch, sonst echt parallel.
Zwei Ebenen im Raum sind entweder identisch, echt parallel oder sie schneiden sich in einer Geraden. Welches Prüfverfahren am schnellsten ist, hängt von der Darstellungsform der Ebenen ab.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir Ebenen als unbegrenzt ausgedehnte Flächen vor. Eine Zeichnung zeigt immer nur einen Ausschnitt. Zwei Ebenen sind identisch, wenn jeder Punkt der einen auch zur anderen gehört. Sie sind echt parallel, wenn sie dieselbe Ausrichtung, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Sonst schneiden sie sich.
| Lage | Gemeinsame Punkte | Normalenvektoren |
|---|---|---|
| identisch | alle | Vielfache |
| echt parallel | keine | Vielfache |
| schneidend | eine Gerade | keine Vielfachen |
Definition
Schneidende Ebenen
Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in genau einer Geraden. Diese heißt Schnittgerade und enthält alle gemeinsamen Punkte.
Merke: Bei zwei Ebenen gibt es im Raum genau drei Fälle: identisch, echt parallel oder schneidend. Ein einzelner Schnittpunkt ist bei zwei vollständigen Ebenen nicht möglich.
Teste dich
Eine Ebene in Koordinatenform hat die Gestalt ax+by+cz=d. Der Vektor \vec n=(a\mid b\mid c) steht senkrecht auf der Ebene und heißt Normalenvektor. Für zwei Koordinatenformen liest du \vec n_1 und \vec n_2 ab und prüfst, ob es einen Faktor k mit \vec n_2=k\cdot\vec n_1 gibt. Gibt es keinen, schneiden sich die Ebenen. Gibt es einen, vergleichst du auch die rechten Seiten mit genau demselben Faktor. Kollineare Normalen allein zeigen nur dieselbe Ausrichtung.
Beispiel: Identische Ebenen
- 1E_1: 2x-3y+z=10 und E_2: -4x+6y-2z=-20
- 2Normalen: \vec n_2=-2\cdot\vec n_1
- 3Rechte Seite: -2\cdot10=-20
- 4Die ganze Gleichung ist das (-2)-Fache: E_1 und E_2 sind identisch
Beispiel: Echt parallele Ebenen
- 1E_1: 4x-2y+3z=1 und E_2: 12x-6y+9z=18
- 2Normalen: \vec n_2=3\cdot\vec n_1
- 3Rechte Seite: 3\cdot1=3, aber in E_2 steht 18
- 4Gleiche Ausrichtung, aber keine Vielfachen: E_1 und E_2 sind echt parallel
Merke: Vergleiche bei kollinearen Normalenvektoren immer auch die rechte Seite. Nur derselbe Faktor in der gesamten Gleichung beweist, dass die Ebenen identisch sind.
Teste dich
Sind die Normalenvektoren nicht kollinear, steht fest, dass es eine Schnittgerade gibt. Um sie zu bestimmen, löst du die beiden Koordinatengleichungen gemeinsam. Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten lassen eine Variable frei: Sie wird zum Parameter der Schnittgeraden. Zur Kontrolle setzt du nicht nur den Stützpunkt ein, sondern den allgemeinen Geradenpunkt: Er muss beide Gleichungen für jeden Parameterwert erfüllen.
Beispiel: Schnittgerade von E_1: 2x-y+z=1 und E_2: 3x+2y-z=3
- 1Normalen (2\mid-1\mid1) und (3\mid2\mid-1) sind keine Vielfachen: Die Ebenen schneiden sich
- 22\cdot E_1+E_2: 7x+z=5, also z=5-7x
- 3In E_1: 2x-y+5-7x=1, also y=4-5x
- 4x=s frei wählen: x=s, y=4-5s, z=5-7s
- 5g:\vec x=\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-5\\-7\end{pmatrix}
- 6Kontrolle: 2s-(4-5s)+(5-7s)=1 und 3s+2(4-5s)-(5-7s)=3 für jedes s
Teste dich
Liegt eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform vor, setzt du die drei Koordinaten der Parameterform in die Koordinatengleichung ein. Das Ergebnis verrät die Lage: Eine immer wahre Aussage wie 2=2 bedeutet, dass jeder Punkt der eingesetzten Ebene auch in der anderen liegt: Die Ebenen sind identisch. Eine falsche Aussage wie 5=1 bedeutet: echt parallel. Eine Beziehung zwischen den Parametern bedeutet, dass sich die Ebenen schneiden.
Beispiel: H: 7x_1+x_2-3x_3-8=0 und E in Parameterform
- 1E:\vec x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
- 2Aus E: x_1=\mu, x_2=1-\lambda, x_3=2\lambda
- 3Einsetzen in H: 7\mu+(1-\lambda)-3\cdot2\lambda-8=0
- 47\mu-7\lambda-7=0, also \mu=\lambda+1
- 5Eine Beziehung zwischen den Parametern: Die Ebenen schneiden sich
- 6\mu=\lambda+1 in E: g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lagebeziehung von Ebenen
Identisch
alle Punkte gemeinsam
Echt parallel
kein gemeinsamer Punkt
Schneidend
genau eine gemeinsame Gerade
Koordinatenformen
Normalen und rechte Seiten vergleichen
Parameterform
in die Koordinatenform einsetzen und das Ergebnis deuten
Schnittgerade
freie Variable als Parameter wählen und kontrollieren
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Lage von E_1: x-2y+2z=6 und E_2: 2x+y-z=2
- 1Normalen (1\mid-2\mid2) und (2\mid1\mid-1) sind keine Vielfachen: Die Ebenen schneiden sich
- 2E_1+2\cdot E_2: 5x=10, also x=2
- 3In E_2: 4+y-z=2, also y=z-2
- 4z=t frei wählen: x=2, y=t-2, z=t
- 5g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}
- 6Kontrolle: 2-2(t-2)+2t=6 und 4+(t-2)-t=2 für jedes t
Fehler finden
Lage von E_1: x+y-2z=3 und E_2: 2x+2y-4z=5 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Kollineare Normalen zeigen nur dieselbe Ausrichtung. Vergleiche auch die rechte Seite: 2\cdot3=6, in E_2 steht aber 5. Die Ebenen sind echt parallel.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Sind die Normalenvektoren keine Vielfachen, sich die Ebenen in einer Geraden. Sind die ganzen Gleichungen Vielfache mit demselben Faktor, sind die Ebenen . Bleibt nach dem Einsetzen einer Parameterform eine falsche Aussage wie 0=6 übrig, sind die Ebenen .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback