Mathematik · Klasse 11 · aktualisiert
Limes verstehen und Grenzwerte berechnen
Der Limes zeigt, wohin sich Funktionswerte bewegen. Du berechnest Grenzwerte an Stellen und im Unendlichen und erkennst Lücken, Polstellen und Asymptoten.
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Kurz gesagt
Der Limes (Grenzwert) \lim_{x\to a}f(x)=L ist der Wert L, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn x der Stelle a oder \pm\infty beliebig nahe kommt. Du setzt zuerst ein. Entsteht \frac00, faktorisierst und kürzt du: \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.
Der Limes beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion nähert, wenn sich x einer Stelle oder \pm\infty nähert. Entscheidend ist das Verhalten in der Nähe – nicht unbedingt der Funktionswert an der Stelle selbst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Schreibweise \lim_{x\to a}f(x)=L bedeutet: Wenn x der Zahl a beliebig nahe kommt, nähern sich die Funktionswerte f(x) der Zahl L. Dabei muss x=a nicht eingesetzt werden können. Der Limes betrachtet Werte in der Nähe von a. Deshalb kann ein Grenzwert auch an einer Definitionslücke existieren. Bei \lim_{x\to +\infty}f(x)=L fragst du dagegen, wie sich f(x) für immer größere positive Werte von x verhält. Das Zeichen \infty ist keine gewöhnliche Zahl, die du einsetzen kannst.
Definition
Limes
Der Limes oder Grenzwert ist der Wert, dem sich eine Funktion bei einer bestimmten Annäherung nähert. Die Zielstelle kann eine Zahl, +\infty oder -\infty sein.
Beispiel: x^2 für sehr große und sehr kleine x
- 1Die Werte von x^2 werden für große positive und große negative x immer größer.
- 2\lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty
- 3\lim_{x\to -\infty}x^2=+\infty
- 4+\infty heißt: unbegrenztes Wachstum, kein endlicher Zahlenwert.
Teste dich
Versuche zuerst, die Zielstelle einzusetzen. Ist die Funktion dort ohne Unterbrechung definiert, erhältst du so direkt den Grenzwert. Entsteht beim Einsetzen die Form \frac{0}{0}, ist das noch kein Ergebnis. Prüfe dann, ob du den Term faktorisieren und einen gemeinsamen Faktor kürzen kannst. Eine Wertetabelle kann eine Vermutung zeigen, die Umformung begründet sie.
Beispiel: Direkt einsetzen: \lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x-4}
- 1Der Nenner ist bei x=1 nicht null, du darfst einsetzen.
- 2\frac{1+2}{1-4}=\frac{3}{-3}=-1
- 3Also: \lim_{x\to 1}\frac{x+2}{x-4}=-1
Beispiel: Faktorisieren und kürzen: \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}
- 1Einsetzen ergibt \frac{0}{0}: umformen.
- 2Zähler faktorisieren: x^2-1=(x-1)(x+1)
- 3Für x\ne1 kürzen: \frac{x^2-1}{x-1}=x+1
- 4x+1 nähert sich 1+1=2, also \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2
- 5Bei x=1 ist die Funktion nicht definiert: Dort liegt eine hebbare Lücke, der Grenzwert existiert trotzdem.
Merke: Die Form \frac{0}{0} bedeutet nicht, dass der Grenzwert null ist oder nicht existiert. Sie fordert dich zum Umformen auf.
Teste dich
Eine rationale Funktion ist ein Quotient aus Polynomen. Für ihr Verhalten bei x\to\pm\infty vergleichst du die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. Ist der Zählergrad kleiner, ist der Grenzwert 0. Sind beide Grade gleich, ist der Grenzwert das Verhältnis der führenden Koeffizienten. Ist der Zählergrad größer, verhält sich der Quotient wie der Quotient der führenden Terme. Das Ergebnis kann unbegrenzt wachsen oder fallen. Im Beispiel unten ist der Grenzwert \frac35: Für große positive x nähert sich der Graph der Geraden y=\frac35, einer waagerechten Asymptote.
Beispiel: Gleiche Grade: \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+2x+1}{5x^2-x}
- 1Zähler und Nenner haben den Grad 2: jeden Term durch x^2 teilen.
- 2\frac{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{5-\frac{1}{x}}
- 3Für x\to+\infty gehen \frac1x und \frac1{x^2} gegen 0.
- 4Übrig bleibt \frac35, also \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+2x+1}{5x^2-x}=\frac35
Teste dich
An einer kritischen Stelle musst du oft prüfen, was links und rechts geschieht. x\to a^- bedeutet Annäherung mit Werten kleiner als a. x\to a^+ bedeutet Annäherung mit Werten größer als a. Ein beidseitiger endlicher Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Anders als bei \frac1{x-1} im Beispiel unten werden die Werte bei \frac1{x^2} auf beiden Seiten von 0 positiv und unbegrenzt groß: \lim_{x\to0^-}\frac1{x^2}=\lim_{x\to0^+}\frac1{x^2}=+\infty. In der schulischen erweiterten Schreibweise notiert man dann auch \lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty. Eine hebbare Lücke ist keine Polstelle: Beim Kürzungsbeispiel näherten sich die Funktionswerte der endlichen Zahl 2. Sie explodierten nicht gegen \pm\infty. Deine Strategie: Lies zuerst die Annäherung ab und setze ein. Bei \frac00 oder \frac\infty\infty formst du um. An möglichen Polstellen prüfst du beide Seiten getrennt, dann deutest du das Ergebnis.
Beispiel: Polstelle: f(x)=\frac1{x-1} an der Stelle 1
- 1Links von 1 ist x-1 eine sehr kleine negative Zahl: \lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty
- 2Rechts von 1 ist x-1 eine sehr kleine positive Zahl: \lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty
- 3Die Seiten stimmen nicht überein: kein beidseitiger Grenzwert.
- 4x=1 ist eine Polstelle, die Gerade x=1 eine senkrechte Asymptote.
Definition
Asymptote
Eine waagerechte Asymptote y=L liegt vor, wenn sich die Funktion für x\to+\infty oder x\to-\infty dem endlichen Wert L nähert. Eine senkrechte Asymptote x=a liegt vor, wenn die Funktionswerte bei der Annäherung an a mindestens von einer Seite unbegrenzt wachsen oder fallen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Limes
Limes
das Verhalten von f(x) bei Annäherung an eine Stelle oder an \pm\infty
Einsetzen
klappt es ohne Problem, ist das Ergebnis der Grenzwert
Unbestimmte Form
bei \frac00 faktorisieren und kürzen, dann einsetzen
Im Unendlichen
die höchsten Potenzen von Zähler und Nenner vergleichen
Hebbare Lücke
nicht definiert, aber ein endlicher Grenzwert
Polstelle
Werte wachsen oder fallen unbegrenzt, senkrechte Asymptote
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Asymptoten von f(x)=\frac{2x+1}{x-3} bestimmen
- 1Definitionslücke: Der Nenner wird bei x=3 null.
- 2Im Unendlichen: Zähler und Nenner haben beide den Grad 1.
- 3Führende Koeffizienten 2 und 1: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac21=2
- 4Waagerechte Asymptote: y=2
- 5Bei x=3: Zähler 2\cdot3+1=7, also keine Form \frac00
- 6Links von 3 ist der Nenner klein und negativ: \lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty
- 7Rechts von 3 ist er klein und positiv: \lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty
- 8Ergebnis: Polstelle bei x=3, senkrechte Asymptote x=3
Fehler finden
Bestimme \lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Nach der 3. binomischen Formel gilt x^2-9=(x-3)(x+3). Nach dem Kürzen bleibt x+3, und der Grenzwert ist 3+3=6.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein beidseitiger endlicher Grenzwert existiert, wenn die einseitigen Grenzwerte . Nähert sich eine Funktion im Unendlichen einer endlichen Zahl L, ist y=L eine Asymptote. Unbegrenzt große Beträge nahe x=a weisen auf eine hin.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback