Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Natürlicher Logarithmus: ln verstehen und anwenden
Du lernst, was ln bedeutet, wo die Funktion definiert ist, welche Rechengesetze gelten und wie du damit Exponentialgleichungen löst und ableitest.
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Kurz gesagt
Der natürliche Logarithmus \ln y ist der Exponent, mit dem du e \approx 2{,}718 potenzieren musst, um y zu erhalten: e^x = y \Leftrightarrow x = \ln y. Er ist die Umkehrfunktion von e^x und nur für y > 0 definiert. Zum Beispiel ist \ln e = 1, weil e^1 = e.
Der natürliche Logarithmus beantwortet eine Exponentenfrage: \ln y ist genau die Zahl x, für die e^x=y gilt. Er ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e^x und im Reellen nur für positive Argumente definiert. Du brauchst ihn immer dann, wenn die Unbekannte im Exponenten steht, etwa bei Wachstum und Zerfall.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Zahl e\approx 2{,}7182818 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Der Ausdruck \ln y fragt: Mit welchem Exponenten muss ich e potenzieren, damit y entsteht? Ein besonders wichtiger Wert ist \ln(1)=0, denn e^0=1. Ebenso gilt \ln e=1, denn e^1=e.
Definition
Natürlicher Logarithmus
Für y>0 gilt: e^x=y\quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln y Darum heben sich Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus gegenseitig auf: \ln(e^x)=x e^{\ln y}=y\quad(y>0)
Beispiel: Gesucht ist der Exponent in e^x=30.
- 1\ln auf beide Seiten: \ln(e^x)=\ln 30
- 2Umkehrbeziehung \ln(e^x)=x nutzen
- 3x=\ln 30 (exakt)
- 4x\approx 3{,}401 (mit der ln-Taste)
Teste dich
Bei f(x)=\ln x muss das Argument x positiv sein. Deshalb ist der Definitionsbereich (0,\infty). Der Wertebereich ist ganz \mathbb R, denn \ln x kann jeden reellen Wert annehmen. Der Graph hat folgende Eigenschaften: Er schneidet die x-Achse bei x=1, weil \ln(1)=0. Er ist streng steigend. Für x\to 0^+ fällt \ln x gegen -\infty; die Gerade x=0 ist eine vertikale Asymptote. Für x\to\infty wächst \ln x ebenfalls gegen \infty, allerdings immer langsamer.
Merke: Bei \ln(g(x)) gelten zwei verschiedene Bedingungen: definiert, wenn g(x)>0 ist, und Nullstelle, wenn g(x)=1 ist.
Beispiel: Untersuche f(x)=\ln(x-5).
- 1Definiert: x-5>0, also x>5
- 2D=(5,\infty)
- 3Nullstelle: x-5=1, also x=6
- 4x=6 liegt in D, die Nullstelle ist zulässig.
Teste dich
Für positive Zahlen u und v sowie jede reelle Zahl r gelten: \ln(uv)=\ln u+\ln v \ln\left(\frac{u}{v}\right)=\ln u-\ln v \ln(u^r)=r\ln u Die Gesetze verwandeln Multiplikation in Addition, Division in Subtraktion und einen Exponenten in einen Faktor. So vereinfachst du zum Beispiel \ln 12-\ln 3=\ln\left(\frac{12}{3}\right)=\ln 4 und 2\ln 3=\ln(3^2)=\ln 9. Steht die Unbekannte im Exponenten, logarithmierst du beide Seiten. Die Potenzregel holt sie dann als Faktor nach vorn. Beide Seiten müssen dafür positiv sein. Bei e^x=y mit y>0 geht es direkt: x=\ln y.
Merke: Für Summen und Differenzen im Argument gibt es kein entsprechendes Gesetz. Im Allgemeinen ist \ln(u+v)\ne\ln u+\ln v.
Beispiel: Löse 3^x=5.
- 1Logarithmieren: \ln(3^x)=\ln 5
- 2Potenzregel: x\ln 3=\ln 5
- 3Durch \ln 3 teilen: x=\frac{\ln 5}{\ln 3}\approx 1{,}465
- 4Plausibel: 3^1=3<5 und 3^2=9>5, also liegt x zwischen 1 und 2.
Teste dich
Die natürliche Logarithmusfunktion ist in der Analysis besonders praktisch: \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad(x>0) Ist das Argument eine Funktion g(x), brauchst du die Kettenregel: \frac{d}{dx}\ln(g(x))=\frac{g'(x)}{g(x)} Diese Formel gilt überall dort, wo g(x)>0 ist. Eine Stammfunktion von \ln x ist \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C\quad(x>0) Du kannst das prüfen, indem du x\ln x-x ableitest: Mit der Produktregel entsteht \ln x+1-1=\ln x.
Beispiel: Leite f(x)=\ln(x^2+5) ab.
- 1Argument x^2+5>0 für jedes reelle x
- 2Innere Ableitung: 2x
- 3f'(x)=\frac{2x}{x^2+5}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Natürlicher Logarithmus (ln)
Bedeutung
ln y ist der Exponent, mit dem e den Wert y ergibt
Umkehrung
\ln(e^x)=x und e^{\ln y}=y
Definitionsbereich
nur positive Argumente, Nullstelle bei Argument 1
Rechengesetze
Produkt zu Summe, Quotient zu Differenz, Potenz zu Faktor
Gleichungen
logarithmieren, Exponent als Faktor nach vorn holen
Ableitung
innere Ableitung geteilt durch das Argument
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Löse 2e^{3x}=10.
- 1Durch 2 teilen: e^{3x}=5
- 2\ln anwenden: 3x=\ln 5
- 3Durch 3 teilen: x=\frac{\ln 5}{3}
- 4x\approx 0{,}536
- 5Probe: 2e^{3\cdot 0{,}536}\approx 10
Fehler finden
Löse \ln(x+3)=\ln 5. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2\ln(x+3) darf nicht in \ln x+\ln 3 zerlegt werden: Für Summen gibt es kein Gesetz. Richtig: Weil \ln umkehrbar ist, folgt x+3=5, also x=2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Produkt im Argument wird zu einer : \ln(uv)=\ln u+\ln v. Ein Quotient wird zu einer . Bei \ln(u^r) darf der Exponent als vor den Logarithmus.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback