Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Newton-Verfahren: Nullstellen näherungsweise finden
Du lernst, wie das Newton-Verfahren eine Nullstelle mit Tangenten annähert, wie du Schritte berechnest, den Startwert wählst und Fehlschläge erkennst.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Newton-Verfahren nähert eine Nullstelle von f schrittweise an. Du legst am aktuellen Wert x_n die Tangente an und nimmst ihre Nullstelle als nächsten Wert: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. Mit einem guten Startwert geht das sehr schnell, bei f'(x_n)=0 funktioniert es nicht.
Mit dem Newton-Verfahren näherst du eine Nullstelle von f schrittweise an. Du startest bei x_0, legst am Graphen eine Tangente an und verwendest deren Nullstelle als nächsten Näherungswert: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} Das Verfahren kann sehr schnell sein. Es braucht aber einen geeigneten Startwert und darf nicht an einer Stelle mit f'(x_n)=0 angewendet werden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Angenommen, dein aktueller Näherungswert ist x_n. Auf dem Graphen gehört dazu der Punkt (x_n,f(x_n)). Die Tangente in diesem Punkt hat die Gleichung t(x)=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n). In der Nähe von x_n ersetzt diese Gerade den gekrümmten Graphen näherungsweise. Ihre Nullstelle soll der nächste Wert x_{n+1} sein. Deshalb setzt du t(x_{n+1})=0: 0=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n). Nun löst du nach x_{n+1} auf: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Definition
Iteration
Bei einer Iteration wird das Ergebnis eines Rechenschritts wieder als Eingabe für den nächsten Schritt verwendet. Aus x_0 entstehen so x_1,x_2,x_3,\ldots
Merke: Newton ersetzt den Graphen am aktuellen Punkt durch seine Tangente. Die Nullstelle dieser Tangente ist der nächste Näherungswert.
Teste dich
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor. Bestimme die Funktion f und ihre Ableitung f'. Wähle einen Startwert x_0 in der Nähe der gesuchten Nullstelle. Prüfe vor jedem Schritt, dass f'(x_n)\ne 0 ist. Berechne x_{n+1} mit der Newtonformel und verwende den neuen Wert für den nächsten Schritt. Prüfe am Ende die Schrittweite und den Funktionswert.
Beispiel: Positive Nullstelle von f(x)=x^2-2, also \sqrt{2}
- 1f'(x)=2x, Startwert x_0=1 (die Nullstelle liegt zwischen 1 und 2)
- 2x_1=1-\frac{1^2-2}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}=1{,}5
- 3x_2=\frac{3}{2}-\frac{(\frac{3}{2})^2-2}{2\cdot\frac{3}{2}}=\frac{17}{12}\approx 1{,}4166667
- 4x_3=\frac{17}{12}-\frac{(\frac{17}{12})^2-2}{2\cdot\frac{17}{12}}=\frac{577}{408}\approx 1{,}4142157
- 5Probe: f\left(\frac{577}{408}\right)=\frac{1}{166464}\approx 0{,}0000060
- 6Also \sqrt{2}\approx 1{,}4142
Teste dich
Ein guter Startwert liegt möglichst nahe bei der gesuchten Nullstelle. Wechselt eine stetige Funktion in einem Intervall [a;b] das Vorzeichen, liegt darin mindestens eine Nullstelle. Die Intervallmitte kann dann ein brauchbarer Startwert sein. Garantiert ist der Erfolg damit aber nicht: Bei mehreren Nullstellen kann die Iteration auch eine andere erreichen. Prüfe außerdem die Steigung. Bei f'(x_n)=0 ist der Schritt nicht definiert. Bei sehr kleinem |f'(x_n)| springt der nächste Wert womöglich weit weg. Dann hilft ein anderer Startwert. Beim gedämpften Verfahren x_{n+1}=x_n-\omega\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} mit 0<\omega\le 1 gehst du nur einen Teil des Schritts. Zum Beenden prüfst du mindestens zwei Größen und legst zusätzlich eine Höchstzahl von Schritten fest. So endet die Rechnung auch, wenn die Folge nicht konvergiert.
| Kontrolle | Bedingung | Was sie zeigt |
|---|---|---|
| Schrittweite | |x_{n+1}-x_n| kleiner als die Toleranz | Die Werte ändern sich kaum noch. |
| Restwert | |f(x_{n+1})| klein | Der Wert erfüllt f(x)=0 fast. |
| Höchstzahl | höchstens z. B. 20 Schritte | Die Rechnung endet auch ohne Konvergenz. |
Merke: Beende nicht allein deshalb, weil zwei Näherungswerte ähnlich aussehen. Prüfe auch, ob der Funktionswert tatsächlich nahe null liegt.
Teste dich
Das Newton-Verfahren ist lokal konvergent: Schnell nähert es sich vor allem dann, wenn der Startwert nahe genug bei einer geeigneten Nullstelle liegt. Bei einem ungünstigen Startwert kann die Folge gegen eine andere Nullstelle laufen, zwischen Werten hin- und herspringen oder sich immer weiter entfernen. Langsam wird es bei mehrfachen Nullstellen. Bei f(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2) ist x=1 eine doppelte Nullstelle. Kennst du die Vielfachheit k, stellt die angepasste Formel x_{n+1}=x_n-k\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} die schnelle Annäherung wieder her.
Beispiel: Zweierzyklus bei f(x)=x^3-2x+2 mit x_0=0
- 1f'(x)=3x^2-2
- 2x_1=0-\frac{2}{-2}=1
- 3x_2=1-\frac{1}{1}=0
- 4Die Werte wechseln dauerhaft zwischen 0 und 1.
- 5Keiner der beiden Werte ist eine Nullstelle: f(0)=2, f(1)=1.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Newton-Verfahren
Grundidee
Tangente anlegen, ihre Nullstelle ist der neue Wert
Newtonformel
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Startwert
nahe an der Nullstelle, nicht bei f'(x)=0
Abbruch
Schrittweite und Restwert gemeinsam prüfen
Risiken
Sprünge, Oszillation oder eine andere Nullstelle
Mehrfache Nullstelle
gewöhnliches Newton wird langsam
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Bestimme \sqrt{5} näherungsweise mit f(x)=x^2-5 und x_0=2.
- 1f'(x)=2x
- 2x_1=2-\frac{2^2-5}{2\cdot 2}=2+\frac{1}{4}=2{,}25
- 3x_2=2{,}25-\frac{2{,}25^2-5}{2\cdot 2{,}25}=\frac{161}{72}\approx 2{,}2361
- 4Probe: f\left(\frac{161}{72}\right)=\frac{1}{5184}\approx 0{,}0002
- 5Also \sqrt{5}\approx 2{,}236
Fehler finden
Ein Newtonschritt für f(x)=x^2-3 mit x_0=1 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Quotient ist \frac{-2}{2}=-1, und minus (-1) ergibt Plus. Richtig: x_1=1+1=2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Newton ersetzt den Graphen am aktuellen Punkt durch seine . Im Nenner der Formel steht . Bei f'(x_n)=0 ist der Schritt .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback