Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
ln-Funktion: Eigenschaften, Ableitung und Anwendung
Du lernst, was der natürliche Logarithmus bedeutet, wie sein Graph verläuft, wo er definiert ist und wie du damit Exponentialgleichungen löst.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die ln-Funktion f(x)=\ln x ist die Umkehrfunktion der e-Funktion: \ln y ist der Exponent, mit dem e die Zahl y ergibt. Sie ist nur für x>0 definiert, hat die Nullstelle x=1 und steigt immer, aber immer flacher. Beispiel: \ln(e^2)=2.
Die ln-Funktion gibt an, welcher Exponent von e zu einer positiven Zahl führt. Deshalb ist sie die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion e^x. Auf dieser Seite lernst du, den Graphen zu beschreiben, Definitionsbereiche und Nullstellen zu bestimmen, ln-Funktionen abzuleiten und einfache Exponentialgleichungen zu lösen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Schreibweise \ln y bedeutet: Welcher Exponent von e ergibt y? Dabei ist e\approx2{,}71828 die Eulersche Zahl. Die beiden Umkehrbeziehungen lauten: e^{\ln x}=x\quad(x>0) \ln(e^x)=x
Definition
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e: \ln x=\log_e x Für reelle Zahlen ist er nur für x>0 definiert.
Beispiel: \ln(e^2), \ln(1) und \ln(e) bestimmen
- 1\ln fragt nach dem Exponenten zur Basis e.
- 2\ln(e^2)=2
- 3\ln(1)=0, weil e^0=1
- 4\ln(e)=1, weil e^1=e
Teste dich
Der Ausdruck in der Klammer heißt Argument. Bei \ln(x+7) ist das Argument also x+7. Für eine reelle ln-Funktion muss das Argument immer echt positiv sein: g(x)>0. Für den Definitionsbereich von \ln(g(x)) setzt du deshalb g(x)>0, löst die Ungleichung nach x und notierst das Intervall. Eine ln-Funktion hat genau dann den Wert 0, wenn ihr Argument 1 ist: \ln(g(x))=0\iff g(x)=1
Beispiel: Definitionsbereich von f(x)=\ln(x-2)
- 1x-2>0
- 2x>2, also D=]2;\infty[
- 3Der Randwert 2 gehört nicht dazu: Dort wäre das Argument 0.
Beispiel: Nullstelle von f(x)=\ln(x+7)
- 1\ln(x+7)=0 heißt x+7=1
- 2x=-6
- 3Probe: \ln(-6+7)=\ln(1)=0
Teste dich
Der Graph von f(x)=\ln x entsteht, wenn du den Graphen von e^x an der Geraden y=x spiegelst. Dabei tauschen Definitions- und Wertebereich ihre Rollen. Die Ableitung f'(x)=\frac1x erklärt den Verlauf: Für x>0 ist sie positiv, also steigt der Graph immer. Weil \frac1x mit wachsendem x kleiner wird, steigt er immer flacher. Für verkettete Funktionen \ln(g(x)) brauchst du die Kettenregel. Eine Stammfunktion von \ln x ist F(x)=x\ln x-x+C. Das prüfst du durch Ableiten: F'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x-1=\ln x.
| Eigenschaft | Graph von ln x |
|---|---|
| Definitionsbereich | D=]0;\infty[ |
| Wertebereich | W=\mathbb{R} |
| Nullstelle | (1 \mid 0) |
| Besonderer Punkt | (e \mid 1) |
| y-Achse | kein Schnittpunkt, senkrechte Asymptote x=0 |
| Verlauf | streng monoton steigend, immer flacher |
| Ränder | \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty und \lim_{x\to\infty}\ln x=\infty |
Merke: Für f(x)=\ln(g(x)) gilt im Definitionsbereich: f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} Du leitest also das Argument ab und teilst durch das ursprüngliche Argument.
Beispiel: f(x)=\ln(x^2+2) ableiten
- 1g(x)=x^2+2 und g'(x)=2x
- 2f'(x)=\frac{2x}{x^2+2}
- 3x^2+2>0 für alle reellen x, also sind f und f' überall definiert.
Teste dich
Steht die Unbekannte im Exponenten, kannst du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwenden. Das Verfahren setzt voraus, dass die rechte Seite positiv ist. Eine Gleichung wie e^x=-2 besitzt keine reelle Lösung, weil e^x für jedes reelle x positiv ist.
Beispiel: e^x=21 lösen
- 1\ln(e^x)=\ln(21)
- 2x=\ln(21)
- 3Probe: e^{\ln(21)}=21
Beispiel: e^{4x}=9 lösen
- 1\ln(e^{4x})=\ln(9)
- 24x=\ln(9)
- 3x=\frac{\ln(9)}{4}
Teste dich
Alles auf einen Blick
ln-Funktion
Bedeutung
\ln y ist der Exponent zur Basis e, der y ergibt
Umkehrfunktion
e^{\ln x}=x und \ln(e^x)=x
Definitionsbereich
Das Argument muss positiv sein
Nullstelle
Argument gleich 1
Graph und Ableitung
f'(x)=\frac1x, steigend mit Asymptote x=0
Gleichungen
Aus e^x=y mit y>0 folgt x=\ln y
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
3e^{2x}-1=11 lösen
- 13e^{2x}=12
- 2e^{2x}=4
- 32x=\ln(4)
- 4x=\frac{\ln(4)}{2}=\ln(2)\approx0{,}693
- 5Probe: 3e^{\ln(4)}-1=3\cdot4-1=11
Fehler finden
Bestimme Definitionsbereich und Nullstelle von f(x)=\ln(2x+6). In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Für eine Nullstelle muss das Argument 1 sein, denn \ln(1)=0: 2x+6=1, also x=-2{,}5.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der Graph von \ln x ist nur für Werte von x definiert. Seine Nullstelle liegt bei . Für x\to0^+ gilt .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback