Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Polynom einfach erklärt: Grad und Polynomdivision
Polynome sind die Bausteine ganzrationaler Funktionen. Du lernst, sie zu erkennen, ihren Grad zu bestimmen und per Polynomdivision Nullstellen zu finden.
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Kurz gesagt
Ein Polynom ist eine Summe von Potenztermen mit natürlichen Exponenten, zum Beispiel 3x^2 - 8x + 2. Die Zahlen vor den Potenzen heißen Koeffizienten. Der Grad ist der größte Exponent mit einem Koeffizienten ungleich 0, hier also 2.
Terme wie 3x^2 - 8x + 2 oder x^3 - 3x^2 - 10x + 24 begegnen dir in der Oberstufe ständig. Sie heißen Polynome. Ein Polynom ist eine Summe oder Differenz von Potenztermen mit natürlichen Exponenten. Hier lernst du, Polynome sicher zu erkennen, ihren Grad zu bestimmen und mit der Polynomdivision Nullstellen zu finden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
3x^2 - 8x + 2 ist ein Polynom. Auch ein einzelnes Glied wie 5x^3 und eine konstante Zahl wie 7 sind Polynome. Keine Polynome sind Terme mit der Variablen im Nenner, mit negativem Exponenten oder mit gebrochenem Exponenten. Deshalb sind \frac{1}{x} und x^{\frac{1}{2}} + 1 keine Polynome. Gibst du einem Polynom einen Funktionsnamen, entsteht eine Polynomfunktion, auch ganzrationale Funktion genannt, zum Beispiel f(x) = 4x^4 + 5x^3 + 2x - 1.
Definition
Polynom
Ein Polynom besteht aus endlich vielen Potenztermen, die addiert oder subtrahiert werden. In jedem Potenzterm hat die Variable einen natürlichen Exponenten: 0, 1, 2, … Die Zahlen vor den Potenzen heißen Koeffizienten.
| Term | Polynom? | Grund |
|---|---|---|
| 4x^3 - 2x + 7 | ja | nur natürliche Exponenten |
| \frac{4}{x} + 7 | nein | Variable im Nenner |
| x^{\frac{1}{2}} + 7 | nein | gebrochener Exponent |
| 7 | ja | konstantes Polynom |
Teste dich
Im Polynom x^2 + 3x - 1 gibt es drei Glieder: x^2, 3x und −1. Die Koeffizienten sind 1, 3 und −1. Vor x^2 ist die 1 nur nicht ausgeschrieben. Die Exponenten sind 2, 1 und 0, denn 3x = 3x^1 und -1 = -1 \cdot x^0 mit x^0 = 1. Das Polynom -7x - 2x^2 + 12 hat Grad 2. Die Reihenfolge der Glieder ändert den Grad nicht, geordnet lautet es -2x^2 - 7x + 12. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen, es können auch weniger sein. Das Nullpolynom hat für jedes x den Wert 0. Für seinen Grad gibt es unterschiedliche Festlegungen.
Definition
Grad
Der Grad eines Polynoms, das nicht das Nullpolynom ist, ist der größte Exponent, dessen Koeffizient nicht 0 ist.
| Name | Anzahl der Glieder | Beispiel |
|---|---|---|
| Monom | 1 | 5x^2 |
| Binom | 2 | 2x^2 + x |
| Trinom | 3 | x^2 + 3x - 1 |
Merke: Ordne ein Polynom nach fallenden Exponenten. Der höchste Exponent mit Koeffizient ungleich 0 bestimmt den Grad.
Teste dich
Die Polynomdivision funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division. Ordne zuerst Dividend und Divisor nach fallenden Exponenten. Fehlt eine Potenz, setzt du ein Nullglied wie 0x ein. So bleiben die Potenzen beim Subtrahieren in der richtigen Spalte. Dann wiederholst du vier Schritte, bis der Rest einen kleineren Grad hat als der Divisor. Zur Probe multiplizierst du zurück. Allgemein gilt P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x), bei Rest 0 also P(x) = D(x) \cdot Q(x).
Beispiel: (x^3 + 6x^2 - 32) : (x - 2) berechnen
- 1Nullglied ergänzen: (x^3 + 6x^2 + 0x - 32) : (x - 2)
- 2x^3 : x = x^2, zurück: x^3 - 2x^2, es bleibt 8x^2 + 0x
- 38x^2 : x = 8x, zurück: 8x^2 - 16x, es bleibt 16x - 32
- 416x : x = 16, zurück: 16x - 32, Rest 0
- 5Ergebnis: (x^3 + 6x^2 - 32) : (x - 2) = x^2 + 8x + 16
Merke: Wiederhole immer: teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, herunterholen. Die Vorzeichen beim Subtrahieren und fehlende Nullglieder sind die häufigsten Fehlerstellen.
Teste dich
Ist a eine Nullstelle von f, gilt f(a) = 0. Dazu gehört der Linearfaktor x - a. Das Vorzeichen wirkt deshalb oft umgekehrt: Zur Nullstelle 2 gehört x - 2, zur Nullstelle −3 gehört x + 3. Bei ganzzahligen Koeffizienten kannst du die ganzzahligen Teiler des konstanten Glieds als Kandidaten testen. Das ist nur eine Suchstrategie, eine ganzzahlige Nullstelle muss es nicht geben. Teile erst durch x - a, wenn du mit f(a) = 0 geprüft hast, dass a wirklich eine Nullstelle ist.
Beispiel: Nullstellen von f(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24
- 1Kandidat 2 testen: f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 10 \cdot 2 + 24 = 8 - 12 - 20 + 24 = 0
- 2Also ist x - 2 ein Linearfaktor.
- 3Division: (x^3 - 3x^2 - 10x + 24) : (x - 2) = x^2 - x - 12
- 4Weiter zerlegen: x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4)
- 5Nullstellen: 2, −3 und 4
Teste dich
Alles auf einen Blick
Polynom
Aufbau
Glieder mit Koeffizienten und natürlichen Exponenten
Grad
größter Exponent, nach dem Ordnen vorne
Nullstellen
höchstens so viele reelle wie der Grad
Division
teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, herunterholen
Linearfaktor
f(a) = 0 führt zum Faktor x - a
Kontrolle
Rest und Rückmultiplikation prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
(x^3 + x^2 - 2) : (x - 1) berechnen
- 1Nullglied ergänzen: (x^3 + x^2 + 0x - 2) : (x - 1)
- 2x^3 : x = x^2, zurück: x^3 - x^2, es bleibt 2x^2 + 0x
- 32x^2 : x = 2x, zurück: 2x^2 - 2x, es bleibt 2x - 2
- 42x : x = 2, zurück: 2x - 2, Rest 0
- 5Ergebnis: (x^3 + x^2 - 2) : (x - 1) = x^2 + 2x + 2
- 6Probe: (x - 1)(x^2 + 2x + 2) = x^3 + x^2 - 2
Fehler finden
(x^3 - 3x^2 + 2) : (x - 1) berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Minus mal Minus ergibt Plus: -3x^2 - (-x^2) = -3x^2 + x^2 = -2x^2. Richtig geht es mit -2x^2 + 0x weiter, und am Ende steht x^2 - 2x - 2 ohne Rest.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Im Polynom -4x^3 + 2x^2 + 3x - 1 ist −4 der von x^3. Der höchste Exponent ist , deshalb hat das Polynom den Grad .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback