Produktregel: Formel, Beispiele und Übungen

Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen von x miteinander multipliziert werden. Bei f(x)=x^2\cdot\sin(x) sind x^2 und \sin(x) beide veränderlich. Deshalb müssen beim Ableiten die Änderungen beider Faktoren berücksichtigt werden. Nicht jede Multiplikation verlangt die Produktregel. In g(x)=4\sin(x) ist 4 eine Konstante. Hier genügt die Faktorregel: g'(x)=4\cos(x) Auch bei einem Produkt aus Polynomen lohnt sich ein Blick auf den Term. x^2(x-1) kannst du mit der Produktregel ableiten oder zuerst ausmultiplizieren. Beide Wege müssen zum gleichen Ergebnis führen.

Bei einem Produkt können sich beide Faktoren ändern. Die Produktregel erfasst beide Beiträge getrennt: u'(x)v(x) beschreibt die Änderung von u, während v unverändert übernommen wird. u(x)v'(x) beschreibt die Änderung von v, während u unverändert übernommen wird. Du kannst die Regel auch aus dem Differenzenquotienten verstehen. Für f(x)=u(x)v(x) beginnt die Ableitung mit f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}. Im Zähler ergänzt du den wertneutralen Ausdruck -u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h). Dadurch lässt sich der Zähler gruppieren: [u(x+h)-u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)-v(x)]. Teilst du beide Gruppen durch h und bildest den Grenzwert, entstehen genau u'(x)v(x) und u(x)v'(x). Die beiden Summanden sind also nötig, weil beide Faktoren zur Änderung des Produkts beitragen. Bei drei Faktoren geht es genauso: In jedem Summanden wird genau einer abgeleitet. [u(x)v(x)w(x)]'=u'vw+uv'w+uvw'

Gehe in fünf Schritten vor. Produkt erkennen: Werden zwei veränderliche Funktionen multipliziert? Faktoren benennen: Setze u(x) und v(x). Einzeln ableiten: Bestimme u'(x) und v'(x) mit den Grundregeln. Einsetzen: Nutze f'(x)=u'v+uv'. Vereinfachen: Fasse zusammen oder klammere gemeinsame Faktoren aus. Bei Polynomen kannst du dein Ergebnis kontrollieren, indem du zuerst ausmultiplizierst.

Fehler 1: Beide Ableitungen multiplizieren: Falsch wäre (uv)'=u'v'. Beim Beispiel x\cdot x=x^2 ergäbe das 1\cdot1=1. Richtig ist aber (x^2)'=2x. Mit der Produktregel erhältst du tatsächlich 1\cdot x+x\cdot1=2x. Fehler 2: Einen Summanden vergessen: Bei x^2\sin(x) reicht 2x\sin(x) nicht aus. Der zweite Beitrag x^2\cos(x) gehört ebenfalls zur Ableitung. Fehler 3: Den unveränderten Faktor verändern: In u'v bleibt v vollständig stehen. Klammern und Vorzeichen müssen dabei übernommen werden. Produktregel und Kettenregel: Ein Faktor kann selbst eine verkettete Funktion sein, etwa e^{-x}. Dann brauchst du außen die Produktregel und innerhalb des Faktors zusätzlich die Kettenregel. Die Produktregel entscheidet, wie die beiden Faktoren verbunden sind. Die Kettenregel wird gebraucht, wenn in einem Faktor eine Funktion in einer anderen steckt.