Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
ln ableiten: Grundregel und Kettenregel erklärt
Du lernst, den natürlichen Logarithmus und verkettete ln-Funktionen abzuleiten und dabei den Definitionsbereich im Blick zu behalten.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Ableitung von \ln(x) ist \frac{1}{x}, und zwar für x>0. Steht ein innerer Term im Logarithmus, gilt nach der Kettenregel (\ln(g(x)))'=\frac{g'(x)}{g(x)}. Beispiel: (\ln(x^2+1))'=\frac{2x}{x^2+1}.
Die natürliche Logarithmusfunktion hat die Ableitung (\ln x)'=\frac1x. Steht im Logarithmus ein innerer Term g(x), brauchst du die Kettenregel: (\ln(g(x)))'=\frac{g'(x)}{g(x)}. Dabei muss stets g(x)>0 gelten.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der natürliche Logarithmus \ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e. Für seine Ableitung gilt: f(x)=\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac1x Die Regel gilt für x>0, denn nur dort ist \ln(x) als reelle Funktion definiert. Ein konstanter Faktor vor dem Logarithmus bleibt beim Ableiten einfach stehen.
Merke: Beim Ableiten von \ln(x) wird aus dem Argument x sein Kehrwert \frac1x.
Beispiel: f(x)=4\ln(x) ableiten
- 1Der Faktor 4 bleibt erhalten.
- 2f'(x)=4\cdot\frac1x=\frac4x
- 3Wie f gilt die Ableitung für x>0.
Teste dich
Bei f(x)=\ln(g(x)) ist g(x) die innere Funktion. Außen steht der natürliche Logarithmus. Gehe in drei Schritten vor: Bestimme den inneren Term g(x). Berechne seine Ableitung g'(x). Setze beides in \frac{g'(x)}{g(x)} ein.
Definition
Kettenregel bei ln
Du leitest zuerst die äußere Funktion ab und multiplizierst mit der inneren Ableitung. Dadurch entsteht: (\ln(g(x)))'=\frac1{g(x)}\cdot g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}
Beispiel: f(x)=\ln(2x^2+3) ableiten
- 1g(x)=2x^2+3 und g'(x)=4x
- 2f'(x)=\frac{4x}{2x^2+3}
- 3Im Nenner steht der unveränderte innere Term.
- 42x^2+3 ist immer positiv, also ist f für alle reellen x definiert.
Teste dich
Ein natürlicher Logarithmus darf nur von einer positiven Zahl genommen werden. Für f(x)=\ln(g(x)) musst du deshalb die Bedingung g(x)>0 prüfen.
Beispiel: f(x)=\ln(x^2+x) ableiten
- 1Bedingung: x^2+x=x(x+1)>0
- 2Das gilt für x<-1 oder x>0.
- 3f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x}
- 4x=-1 und x=0 gehören nicht zum Definitionsbereich. Dort ist auch der Nenner der Ableitung null.
Merke: Die Ableitungsregel ersetzt nicht die Definitionsprüfung: Erst muss das ln-Argument positiv sein, dann gilt \frac{g'(x)}{g(x)}.
Teste dich
Klammern und Potenzen entscheiden, welche Funktion innen und welche außen liegt. Bei \ln(x^3) ist x^3 das Argument des Logarithmus. Bei (\ln x)^3 ist \ln(x) die innere Funktion und die dritte Potenz die äußere. Hat eine Funktion mehrere Schichten, wendest du die Kettenregel von außen nach innen an und multiplizierst alle Ableitungsfaktoren.
Beispiel: \ln(x^3) und (\ln x)^3 ableiten
- 1\frac{d}{dx}\ln(x^3)=\frac{3x^2}{x^3}=\frac3x
- 2\frac{d}{dx}(\ln x)^3=3(\ln x)^2\cdot\frac1x=\frac{3(\ln x)^2}{x}
- 3Beide Funktionen sind nur für x>0 definiert.
Beispiel: f(x)=\ln(\sin(2x-3)) ableiten
- 1Außen \ln(v), in der Mitte v=\sin(u), innen u=2x-3
- 2Ableitungsfaktoren: \frac1v, \cos(u) und 2
- 3f'(x)=\frac{2\cos(2x-3)}{\sin(2x-3)}
- 4Das gilt nur, wo \sin(2x-3)>0 ist. \sin(2x-3)\ne0 reicht nicht.
Merke: Lies zuerst die Klammern: Was steht innen, was außen? Jede Schicht liefert einen Faktor in der Ableitung.
Teste dich
Alles auf einen Blick
ln ableiten
Grundregel
(\ln x)'=\frac1x
Verkettung
innere Funktion g(x) erkennen
Kettenregel
\frac{g'(x)}{g(x)}
Bedingung
g(x)>0
Kontrolle
innere Ableitung und Argument prüfen
Klammern lesen
\ln(x^3) und (\ln x)^3 unterscheiden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f(x)=3\ln(x^2+4x) ableiten
- 1Bedingung: x^2+4x=x(x+4)>0, also x<-4 oder x>0
- 2Innerer Term: g(x)=x^2+4x mit g'(x)=2x+4
- 3Der Faktor 3 bleibt erhalten.
- 4f'(x)=3\cdot\frac{2x+4}{x^2+4x}=\frac{6x+12}{x^2+4x}
- 5Zum Beispiel ist f'(1)=\frac{18}{5}.
Fehler finden
Leite f(x)=\ln(5x^2-2) ab. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die innere Ableitung g'(x)=10x fehlt. Richtig ist f'(x)=\frac{10x}{5x^2-2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Ableitung von \ln(x) ist . Bei \ln(g(x)) steht die innere Ableitung im . Das Argument des Logarithmus muss sein.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback