Logarithmusfunktion: Eigenschaften verstehen

Stell dir die Potenzgleichung a^y=x vor. Sind die Basis a und das Ergebnis x bekannt, sucht der Logarithmus den Exponenten y: a^y=x \quad\Longleftrightarrow\quad y=\log_a(x) Dabei muss a>0 und a\ne 1 gelten. Hältst du die Basis fest und lässt x verschiedene positive Werte annehmen, entsteht die Logarithmusfunktion f(x)=\log_a(x).

Für reelle Logarithmusfunktionen gelten drei Bedingungen: Die Basis ist positiv: a>0. Die Basis ist nicht 1: a\ne 1. Das Argument ist positiv: x>0. Darum ist der Definitionsbereich jeder Funktion f(x)=\log_a(x) D=(0,\infty). Jeder reelle Exponent kann als Funktionswert auftreten. Der Wertebereich ist daher W=\mathbb R. Die Nullstelle liegt immer bei x=1, weil a^0=1 und damit \log_a(1)=0 gilt. Einen Schnittpunkt mit der y-Achse gibt es nicht: Dort wäre x=0, doch \log_a(0) ist nicht definiert. Steht im Argument ein Term, muss der ganze Term positiv sein. Für g(x)=\ln(x-2) folgt zum Beispiel x-2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>2.

Alle Logarithmusgraphen verlaufen durch (1|0) und nähern sich für x\to0^+ der y-Achse, ohne sie zu erreichen. Ob der Graph steigt oder fällt, entscheidet die Basis: Für a>1 ist f(x)=\log_a(x) streng monoton steigend. Für 0\lt a\lt1 ist f(x)=\log_a(x) streng monoton fallend. Das passt zu den zugehörigen Potenzen. Bei einer Basis größer als 1 werden die Potenzwerte mit wachsendem Exponenten größer. Bei einer Basis zwischen 0 und 1 werden sie kleiner. Eine Exponentialfunktion E(x)=a^x macht aus einem Exponenten einen Potenzwert. Die Logarithmusfunktion L(x)=\log_a(x) kehrt genau diesen Schritt um: \log_a(a^x)=x und für x>0 a^{\log_a(x)}=x. Deshalb sind die Graphen von E und L Spiegelbilder an der Geraden y=x. Beim Spiegeln tauschen sich Eingabe und Ausgabe: Aus dem Punkt (u|v) auf dem Exponentialgraphen wird (v|u) auf dem Logarithmusgraphen. Der natürliche Logarithmus \ln(x)=\log_e(x) ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion e^x. Der dekadische Logarithmus hat die Basis 10 und wird häufig als \log(x) geschrieben. Achte dabei auf die Schreibweise in deiner Aufgabe oder auf deinem Taschenrechner.

Für dieselbe zulässige Basis a und positive Argumente u und v gelten: \log_a(uv)=\log_a(u)+\log_a(v) \log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v) \log_a(u^r)=r\cdot\log_a(u). Die Regeln beziehen sich auf Produkte, Quotienten und Potenzen im Argument. Aus einer Summe darfst du keine Summe von Logarithmen machen. Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten. Bringe die Gleichung zuerst in die Form a^x=b und übersetze sie dann: a^x=b \quad\Longrightarrow\quad x=\log_a(b). Für eine numerische Berechnung kannst du die Basis wechseln: \log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}.