Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Potenzregel: Potenzfunktionen sicher ableiten
Mit der Potenzregel leitest du Potenzfunktionen ab. Du lernst Vorfaktoren, Konstanten, negative und gebrochene Exponenten und Steigungen.
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Kurz gesagt
Die Potenzregel lautet (x^n)' = n x^{n - 1}: Der Exponent wandert als Faktor nach vorn und wird dann um 1 kleiner. Ein Vorfaktor wird mitmultipliziert, zum Beispiel (5x^3)' = 15x^2. Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten.
Fährst du mit dem Rad einen Hügel hinauf, ist es nicht überall gleich steil. Die Ableitung sagt dir an jeder Stelle, wie steil ein Graph gerade ist. Mit der Potenzregel leitest du Potenzfunktionen ab: Du schreibst den Exponenten als Faktor vor die Potenz und verringerst ihn danach um 1. So erhältst du eine Funktion, mit der du die Steigung an jeder erlaubten Stelle berechnest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung des Graphen von f an der Stelle x an. Ist f'(x) positiv, steigt der Graph dort. Ist f'(x) negativ, fällt er dort. Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich: Für f(x) = 2x gilt f'(x) = 2. Bei einer Potenzfunktion wie x^2 ändert sich die Steigung dagegen von Stelle zu Stelle. Mit der Potenzregel bekommst du die Ableitung direkt aus dem Funktionsterm. Weitere Regeln wie Produkt- und Kettenregel findest du bei den Ableitungsregeln.
Beispiel: Steigung von f(x) = x^2 bei x = 3
- 1Ableitung: f'(x) = 2x
- 2Einsetzen: f'(3) = 2 \cdot 3 = 6
- 3Der Graph hat bei x = 3 die Steigung 6.
Teste dich
Die Potenzregel geht in zwei Schritten. Multipliziere den bisherigen Vorfaktor mit dem Exponenten. Verringere dann den Exponenten um 1. Ein linearer Term ist eine Potenz mit Exponent 1: Aus ax = ax^1 wird a \cdot 1 \cdot x^0 = a, weil x^0 = 1 gilt. Eine Konstante ändert sich nicht, wenn sich x ändert. Ihre Ableitung ist deshalb 0. Bei f(x) = 2x + 3 wird aus 2x die 2 und aus 3 die 0, also ist f'(x) = 2. Der Summand 3 verschiebt den Graphen nach oben, ändert aber seine Steigung nicht.
Definition
Potenzregel
Für f(x) = x^n gilt f'(x) = n x^{n - 1}. Mit einem konstanten Vorfaktor a gilt: f(x) = a x^n \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = a n x^{n - 1}
Beispiel: f(x) = 5x^3 ableiten
- 1Exponent 3 als Faktor: 3 \cdot 5 = 15
- 2Neuer Exponent: 3 - 1 = 2
- 3f'(x) = 15x^2
Merke: Exponent nach vorn, dann im Exponenten 1 abziehen. Ein konstanter Vorfaktor bleibt stehen und wird mit dem Exponenten multipliziert.
Teste dich
Die Rechenschritte der Potenzregel bleiben gleich. Du musst aber auf den erlaubten Bereich achten. Bei einem negativen Exponenten wird n - 1 noch kleiner, und x = 0 ist ausgeschlossen. Eine Quadratwurzel schreibst du als Bruchpotenz: \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}. Für natürliche Exponenten gilt die Regel für alle reellen x, bei negativen ganzen Exponenten für x \ne 0. Gebrochene Exponenten verwendest du hier nur für x > 0. Einen Bruch wie \frac{5}{6x^3} schreibst du vor dem Ableiten als Potenz: \frac{5}{6} x^{-3}.
Beispiel: f(x) = 3x^{-1} ableiten
- 1f'(x) = 3 \cdot (-1) x^{-1 - 1} = -3x^{-2}
- 2Als Bruch: f'(x) = -\frac{3}{x^2}
- 3Funktion und Ableitung gelten nur für x \ne 0.
Beispiel: f(x) = 2x^{\frac{1}{2}} ableiten
- 1f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = x^{-\frac{1}{2}}
- 2Der Exponent wird also von \frac{1}{2} zu -\frac{1}{2}.
- 3Als Bruch: f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} für x > 0
Teste dich
Leite zuerst die Funktion ab. Setze erst danach die Stelle in die Ableitungsfunktion ein. Setzt du die Stelle in f ein, erhältst du den Funktionswert, also die Höhe des Punkts, nicht seine Steigung. Du kannst auch umgekehrt eine Stelle zu einer vorgegebenen Steigung suchen. Dann setzt du f'(x) gleich dieser Steigung und löst die Gleichung.
Beispiel: Steigung von f(x) = 3x^4 bei x = 2
- 1Ableiten: f'(x) = 12x^3
- 2Einsetzen: f'(2) = 12 \cdot 2^3 = 96
- 3Der Graph hat bei x = 2 die Steigung 96.
- 4Der Punkt selbst: f(2) = 3 \cdot 2^4 = 48, also P(2 \mid 48)
Beispiel: Wo hat f(x) = \sqrt{x} die Steigung 3?
- 1Ableiten: f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
- 2Gleich 3 setzen: \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3
- 3Umformen: \sqrt{x} = \frac{1}{6}
- 4Quadrieren: x = \frac{1}{36}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Potenzregel
Grundform
(x^n)' = n x^{n - 1}
Vorfaktor
a x^n wird zu a n x^{n - 1}
Linearer Term und Konstante
Aus ax wird a, aus einer Zahl wird 0
Negative Exponenten
gelten für x \ne 0
Gebrochene Exponenten
hier für x > 0, etwa \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
Steigung
erst ableiten, dann die Stelle in f' einsetzen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Steigung von f(x) = \frac{1}{2} x^4 - 3x + 1 bei x = 2
- 1\frac{1}{2} x^4 wird zu \frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3
- 2-3x wird zu -3, die Konstante 1 wird zu 0
- 3f'(x) = 2x^3 - 3
- 4f'(2) = 2 \cdot 2^3 - 3 = 16 - 3 = 13
- 5Bei x = 2 hat der Graph die Steigung 13.
Fehler finden
Steigung von f(x) = 2x^3 bei x = 2 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Hier wurde in f statt in f' eingesetzt. Erst ableiten: f'(x) = 6x^2, dann einsetzen: f'(2) = 6 \cdot 2^2 = 24.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei f(x) = 4x^3 wird der Exponent 3 zum . Der neue Exponent ist . Die Konstante in g(x) = x^2 + 5 hat die Ableitung .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback