Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Monotonie: Funktionen sicher untersuchen
Monotonie sagt, ob ein Graph steigt oder fällt. Du lernst, Monotonieintervalle mit dem Vorzeichen der ersten Ableitung sicher zu bestimmen.
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Kurz gesagt
Eine Funktion ist auf einem Intervall monoton steigend, wenn aus x_1 \lt x_2 stets f(x_1) \le f(x_2) folgt, streng monoton steigend bei f(x_1) \lt f(x_2). Mit der Ableitung prüfst du das: f'(x) \gt 0 im ganzen Intervall heißt streng steigend, f'(x) \lt 0 streng fallend.
Monotonie beschreibt, wie sich die Funktionswerte verändern, wenn du von links nach rechts gehst: Sie steigen, fallen oder bleiben gleich. Bei differenzierbaren Funktionen verrät dir das Vorzeichen der ersten Ableitung, auf welchen Intervallen der Graph steigt oder fällt.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Du wählst zwei Stellen x_1 und x_2 in einem Intervall mit x_1 \lt x_2, gehst also von links nach rechts, und vergleichst die Funktionswerte. Monotonie ist immer eine Aussage über ein Intervall, nicht über einen einzelnen Punkt. Dieselbe Funktion kann auf einem Intervall fallen und auf einem anderen steigen.
Definition
Monoton steigend und fallend
f heißt auf einem Intervall monoton steigend, wenn für alle x_1 \lt x_2 gilt: f(x_1) \le f(x_2). Gilt sogar f(x_1) \lt f(x_2), heißt f streng monoton steigend. Bei monoton fallend gilt f(x_1) \ge f(x_2), bei streng monoton fallend f(x_1) \gt f(x_2).
| Aus x_1 \lt x_2 folgt | Name | Bedeutung |
|---|---|---|
| f(x_1) \le f(x_2) | monoton steigend | wird größer oder bleibt gleich |
| f(x_1) \lt f(x_2) | streng monoton steigend | wird wirklich größer |
| f(x_1) \ge f(x_2) | monoton fallend | wird kleiner oder bleibt gleich |
| f(x_1) \gt f(x_2) | streng monoton fallend | wird wirklich kleiner |
Beispiel: f(x) = x^2
- 1f(-3) = 9 und f(-1) = 1: Nach rechts werden die Werte kleiner.
- 2Auf (-\infty, 0] ist f streng monoton fallend.
- 3f(1) = 1 und f(3) = 9: Nach rechts werden die Werte größer.
- 4Auf [0, \infty) ist f streng monoton steigend.
Teste dich
Die erste Ableitung f'(x) gibt die Tangentensteigung an. Ist f auf einem Intervall differenzierbar, reicht ein Blick auf ihr Vorzeichen: Ist f'(x) überall im Intervall positiv, steigt f dort streng, ist f'(x) überall negativ, fällt f streng. Mit f'(x) \ge 0 bzw. f'(x) \le 0 ist f monoton steigend bzw. fallend. Ein einzelner Wert f'(x) = 0 entscheidet noch nichts: Du musst die Intervalle daneben prüfen.
Merke: Das Vorzeichen von f' beschreibt die Richtung des Graphen: Plus bedeutet bergauf, Minus bedeutet bergab. Der Funktionswert selbst kann dabei positiv oder negativ sein.
Beispiel: f(x) = x^3
- 1f'(x) = 3x^2 \ge 0
- 2f'(x) = 0 nur bei x = 0
- 3Für x_1 \lt x_2 gilt trotzdem immer x_1^3 \lt x_2^3.
- 4f ist auf ganz \mathbb{R} streng monoton steigend.
Teste dich
Gehe bei einer differenzierbaren Funktion so vor: Bestimme den Definitionsbereich und berechne f'(x). Suche die Nullstellen von f' und die Stellen, an denen f oder f' nicht definiert ist. Diese Trennstellen teilen den Definitionsbereich in Intervalle. In jedem Intervall setzt du einen Testwert in f' ein und übersetzt das Vorzeichen in steigend oder fallend.
Beispiel: Monotonie von f(x) = 4x^3 - 12x
- 1f'(x) = 12x^2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)
- 2f'(x) = 0 für x = -1 oder x = 1
- 3Testwert x = -2: f'(-2) = 36, positiv, also steigend
- 4Testwert x = 0: f'(0) = -12, negativ, also fallend
- 5Testwert x = 2: f'(2) = 36, positiv, also steigend
- 6Streng steigend auf (-\infty, -1] und [1, \infty), streng fallend auf [-1, 1]
Teste dich
Eine Nullstelle von f' kann einen Wechsel von steigend zu fallend anzeigen, muss es aber nicht. Bei gebrochenrationalen Funktionen darfst du eine Polstelle nicht wie eine gewöhnliche Nullstelle von f' behandeln: Sie gehört nicht zum Definitionsbereich. Die zweite Ableitung hilft beim Einordnen einer Stelle mit f'(x_0) = 0: f''(x_0) \gt 0 spricht für einen Tiefpunkt, f''(x_0) \lt 0 für einen Hochpunkt. Ist f''(x_0) = 0, folgt daraus allein nichts. Für die Monotonie bleibt die Vorzeichenprüfung von f' der sichere Weg.
| Sonderfall | Was gilt |
|---|---|
| Waagerechte Stelle ohne Wechsel | Bei x^3 ist f'(0) = 0, aber f' bleibt links und rechts positiv. |
| Waagerechte Stelle mit Wechsel | Bei x^2 wechselt f' bei 0 von negativ zu positiv. |
| Konstante Funktion | f(x) = 3 ist monoton steigend und fallend zugleich, aber nicht streng. |
| Definitionslücke | Sie gehört nicht zum Definitionsbereich und trennt die Intervalle. |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Monotonie
Funktionswerte
für x_1 \lt x_2 vergleichst du f(x_1) und f(x_2)
Streng
keine gleichen Werte an verschiedenen Stellen
Erste Ableitung
f' \gt 0 heißt steigend, f' \lt 0 fallend
Trennstellen
Nullstellen von f' und Definitionslücken
Testwerte
in jedem Teilintervall das Vorzeichen von f' prüfen
Sonderfall
f' = 0 an einer Stelle heißt nicht automatisch Wechsel
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Monotonie von g(x) = -x^2 + 1
- 1g'(x) = -2x
- 2g'(x) = 0 für x = 0
- 3Testwert x = -1: g'(-1) = 2, positiv, also steigend
- 4Testwert x = 1: g'(1) = -2, negativ, also fallend
- 5g ist streng steigend auf (-\infty, 0] und streng fallend auf [0, \infty).
- 6Probe: nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel (0 \mid 1)
Fehler finden
Monotonie von f(x) = 2x^3 - 6x In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Hier wurde der Testwert in f statt in f' eingesetzt. Richtig: f'(0) = 6 \cdot 0^2 - 6 = -6, negativ. Also ist f auf [-1, 1] streng monoton fallend.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für g(x) = -x^2 + 1 gilt g'(x) = -2x. Die kritische Stelle ist x = . Links davon ist g'(x) , also ist g dort .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback