Kurvendiskussion: Funktionen systematisch untersuchen

Lies vor dem Rechnen die Aufgabe und den Funktionsterm. Eine Polynomfunktion hat andere Besonderheiten als eine gebrochenrationale Funktion oder eine Logarithmusfunktion, deshalb ist eine Kurvendiskussion keine starre Checkliste. Ein bewährter Plan: Definitionsbereich, Symmetrie und Achsenschnittpunkte, Grenzverhalten und Asymptoten, Ableitungen, Monotonie und Extrempunkte, Krümmung und Wendepunkte, zum Schluss die Skizze. Manche Schritte entfallen: Eine Polynomfunktion hat keine Definitionslücke, eine quadratische Funktion keinen Wendepunkt, weil ihre zweite Ableitung eine Konstante ungleich null ist. Der Definitionsbereich D_f enthält alle x-Werte, die du einsetzen darfst. Ein Nenner darf nicht null sein, unter einer Quadratwurzel darf nichts Negatives stehen, und das Argument von \ln muss größer als null sein. Bei g(x)=\frac{1}{x-2} ist deshalb D_g=\mathbb R\setminus\{2\}. Gilt f(-x)=f(x) für alle x\in D_f, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Gilt f(-x)=-f(x), ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Nullstellen findest du mit f(x)=0, den y-Achsenabschnitt mit f(0), aber nur, wenn 0\in D_f gilt.

Grenzwerte beschreiben, woher ein Graph kommt und wohin er läuft: für x\to-\infty, für x\to+\infty und nahe an Stellen, die nicht zum Definitionsbereich gehören. Bei einer Polynomfunktion entscheidet der Term mit der höchsten Potenz a_nx^n: Der Grad sagt, ob beide Enden in dieselbe Richtung laufen, das Vorzeichen des Leitkoeffizienten a_n, in welche. Eine Asymptote ist eine Gerade oder eine einfachere Kurve, der sich der Graph immer weiter annähert. Nicht jede Funktion hat eine: Eine Polynomfunktion ab Grad 2 hat weder senkrechte noch waagerechte Asymptoten. Wichtig werden sie vor allem bei gebrochenrationalen Funktionen. Vorsicht: Aus „Nenner gleich null“ folgt nicht sofort eine senkrechte Asymptote. Kürzt sich ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner weg, bleibt an dieser Stelle nur eine hebbare Lücke.

f'(x) ist die Steigung der Tangente: Ist f'(x)>0, steigt der Graph, ist f'(x)<0, fällt er. f''(x) beschreibt, wie sich die Steigung ändert: Bei f''(x)>0 ist der Graph linksgekrümmt, bei f''(x)<0 rechtsgekrümmt. Bilde nur die Ableitungen, die du brauchst, und achte auf Produkt- und Kettenregel. Für die Monotonie löst du f'(x)=0, teilst den Definitionsbereich an diesen Stellen in Intervalle und bestimmst in jedem das Vorzeichen von f'. Wechselt f' an einer Stelle x_E von plus nach minus, liegt ein Hochpunkt vor, von minus nach plus ein Tiefpunkt. Oft geht es schneller mit der zweiten Ableitung: f'(x_E)=0 und f''(x_E)<0 ergibt einen Hochpunkt, f''(x_E)>0 einen Tiefpunkt. Ist f''(x_E)=0, entscheidet dieser Test nicht. Bei der Krümmung gilt dasselbe: f''(x_W)=0 liefert nur einen Kandidaten. Einen Wendepunkt beweist erst ein Vorzeichenwechsel von f'' oder, als hinreichende Bedingung, f''(x_W)=0 zusammen mit f'''(x_W)\ne0. Die y-Koordinate berechnest du immer mit f, nicht mit f' oder f''. Auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] vergleichst du für den größten und kleinsten Wert zusätzlich die Randwerte f(a) und f(b). In Sachaufgaben zählt die Bedeutung: Ein Wendepunkt von f markiert oft die Stelle der stärksten Zu- oder Abnahme, weil f' dort ein Extremum hat.

Zum Schluss setzt du alles zu einer Skizze zusammen. Trage zuerst Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte ein. Zeichne dann den Verlauf so, dass Endverhalten, Monotonie-Intervalle, Krümmungswechsel und Symmetrie zusammenpassen. Jeder Widerspruch zeigt einen Fehler: Ein Hochpunkt an einer Stelle, an der f' links und rechts positiv ist, kann nicht stimmen. Stell dir am Ende diese Fragen: Liegt jede berechnete Stelle im Definitionsbereich? Habe ich Kandidaten und nachgewiesene Punkte unterschieden? Habe ich die y-Werte mit f berechnet? Habe ich bei einem abgeschlossenen Intervall die Randwerte geprüft?