Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Grenzwert verstehen und berechnen
Wohin laufen die Funktionswerte? Du lernst Grenzwerte an Stellen und im Unendlichen zu bestimmen, mit Leittermen, Gradvergleich und Umformen.
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Kurz gesagt
Ein Grenzwert ist der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x gegen eine Stelle a oder gegen \pm\infty läuft. Man schreibt \lim_{x \to a} f(x) = L. Der Funktionswert an der Stelle selbst ist dafür egal, zum Beispiel ist \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} = 4, obwohl der Term bei x = 1 nicht definiert ist.
Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion nähert, wenn sich x einer Stelle oder +\infty beziehungsweise -\infty nähert. Entscheidend ist das Verhalten in der Nähe – der Funktionswert an der Stelle muss nicht einmal definiert sein.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bei x \to +\infty untersuchst du den Graphen weit rechts, bei x \to -\infty weit links. Beide Richtungen können unterschiedliche Ergebnisse haben. Bei einer Stelle a zählt nur, was in der Nähe von a passiert. Der Funktionswert f(a) muss dafür nicht einmal definiert sein.
Definition
Grenzwert
Der Grenzwert oder Limes ist der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x gegen eine Zahl a oder gegen \pm\infty läuft. \lim_{x \to a} f(x) = L bedeutet: Nähert sich x der Stelle a, dann nähert sich f(x) dem Wert L.
Beispiel: Grenzwerte von f(x) = \frac{x + 2}{x} im Unendlichen
- 1Umschreiben: \frac{x + 2}{x} = 1 + \frac{2}{x}
- 2Für große Beträge von x wird \frac{2}{x} immer kleiner.
- 3\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2}{x} = 1 und \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{x} = 1
- 4Rechts liegen die Werte knapp über 1, links knapp darunter.
Teste dich
Ist eine Funktion an der Stelle a definiert und stetig, darfst du direkt einsetzen: \lim_{x \to a} f(x) = f(a). Für das Polynom x^2 gilt zum Beispiel \lim_{x \to 2} x^2 = 2^2 = 4. Bei einer Definitionslücke schaust du getrennt von links und rechts: x \to a^- heißt Annäherung mit Werten kleiner als a, x \to a^+ mit Werten größer als a. Ein beidseitiger Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen.
Beispiel: f(x) = \frac{1}{x} und g(x) = \frac{1}{x^2} bei x = 0
- 1\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty und \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty
- 2Die Seiten stimmen nicht überein: kein beidseitiger Grenzwert bei 0.
- 3Bei \frac{1}{x^2} wachsen die Werte von beiden Seiten gegen +\infty.
- 4Uneigentlicher Grenzwert: \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty
Merke: Eine Definitionslücke verhindert einen Grenzwert nicht automatisch. Vergleiche immer die Annäherung von links und von rechts.
Teste dich
Bei einem Polynom entscheidet für große Beträge von x der Summand mit der höchsten Potenz, der Leitterm. Für einen Leitterm a x^n gilt: Ist n gerade, zeigen beide Enden in dieselbe Richtung. Ist n ungerade, zeigen sie in verschiedene Richtungen. Ist a < 0, kehren sich die Richtungen gegenüber x^n um. Eine rationale Funktion ist ein Quotient aus Polynomen. Hier vergleichst du die Grade von Zähler und Nenner: Ist der Zählergrad kleiner, ist der Grenzwert 0. Sind die Grade gleich, ist er der Quotient der führenden Koeffizienten. Ist der Zählergrad größer, musst du weiter untersuchen, etwa mit Polynomdivision.
Beispiel: Endverhalten von f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2
- 1Leitterm: -\frac{1}{3}x^3, ungerader Exponent, negativer Faktor
- 2\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty
- 3\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty
Beispiel: Grenzwert von f(x) = \frac{-3x + 2}{4x - 5} für x \to \pm\infty
- 1Zähler und Nenner haben Grad 1.
- 2Durch x teilen: \frac{-3 + \frac{2}{x}}{4 - \frac{5}{x}}
- 3\frac{2}{x} und \frac{5}{x} gehen gegen 0.
- 4\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\frac{3}{4}, die Gerade y = -\frac{3}{4} ist waagerechte Asymptote.
Definition
Waagerechte Asymptote
Gilt \lim_{x \to +\infty} f(x) = L oder \lim_{x \to -\infty} f(x) = L, dann ist die Gerade y = L in dieser Richtung eine waagerechte Asymptote. Der Graph nähert sich ihr immer mehr an.
Teste dich
Setze zuerst probeweise ein. Entsteht \frac{0}{0}, ist das kein Ergebnis, sondern eine unbestimmte Form. Oft hilft Umformen: Du faktorisierst und kürzt den Faktor, der 0 wird. Hat der Term an der Stelle eine Lücke, aber einen endlichen Grenzwert, heißt die Lücke hebbar. Als Vertiefung gibt es die Regel von l’Hospital: Liegt \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty} vor und sind ihre Voraussetzungen erfüllt, darfst du Zähler und Nenner getrennt ableiten. Das ist nicht die Quotientenregel. Im Beispiel unten ergibt das \lim_{x \to 1} \frac{4x^3}{1} = 4. Bleibt danach wieder eine unbestimmte Form, kannst du die Regel noch einmal anwenden.
Beispiel: \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} berechnen
- 1Einsetzen ergibt \frac{0}{0}, also unbestimmt.
- 2Zähler faktorisieren: x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)
- 3Für x \ne 1 kürzen: \frac{x^4 - 1}{x - 1} = x^3 + x^2 + x + 1
- 4\lim_{x \to 1} (x^3 + x^2 + x + 1) = 4
- 5Bei x = 1 liegt eine hebbare Lücke vor.
Merke: Wende l’Hospital nicht nur deshalb an, weil ein Bruch dasteht. Prüfe zuerst ausdrücklich auf \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty}.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Grenzwert
Richtung
endliche Stelle von links oder rechts, oder \pm\infty
Endliche Stelle
bei Stetigkeit einsetzen, sonst einseitige Grenzwerte vergleichen
Unendlich
bei Polynomen den Leitterm, bei Quotienten die Grade vergleichen
Unbestimmte Form
\frac{0}{0} durch Umformen oder l’Hospital auflösen
Ergebnis
endlicher Wert, uneigentlicher Grenzwert oder kein Grenzwert
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2} berechnen
- 1Einsetzen: Zähler und Nenner werden 0, es entsteht \frac{0}{0}.
- 2Der Zähler hat die Nullstellen -2 und -3, also x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
- 3Für x \ne -2 kürzen: \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2} = x + 3
- 4\lim_{x \to -2} (x + 3) = -2 + 3 = 1
- 5Bei x = -2 liegt eine hebbare Lücke mit dem Grenzwert 1 vor.
Fehler finden
\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - x}{2x^3 + 5} bestimmen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Den Quotienten der führenden Koeffizienten nimmst du nur bei gleichen Graden. Hier ist der Zählergrad 2 kleiner als der Nennergrad 3, also ist der Grenzwert 0.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, strebt der Quotient gegen . Bei gleichen Graden teilst du die . Ist der Zählergrad größer, musst du das Verhalten .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback