Mathematik · Klasse 5–10 · aktualisiert
Statistik und Datenauswertung einfach erklärt
Du lernst, eine Erhebung zu planen, Häufigkeiten und Kennwerte zu berechnen und Ergebnisse samt Stichprobe kritisch zu deuten.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Statistik heißt: Daten zu einer klaren Frage sammeln, ordnen und auswerten. Du zählst Häufigkeiten, etwa die relative Häufigkeit h(x)=\frac{H(x)}{n}, und fasst die Daten mit Mittelwert, Median, Modus und Spannweite zusammen. Zum Schluss prüfst du, ob die Stichprobe deine Deutung trägt.
Statistik hilft dir, Daten systematisch zu sammeln, zu ordnen, darzustellen und zu deuten. Du kannst damit Häufigkeiten vergleichen, typische Werte bestimmen und beurteilen, wie aussagekräftig eine Untersuchung ist.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Am Anfang steht nicht die Rechnung, sondern eine klare Frage. Willst du wissen, wie die 600 Schülerinnen und Schüler deiner Schule zur Schule kommen, umfasst die Grundgesamtheit alle 600. Befragst du 100 von ihnen, bilden diese die Stichprobe. Das Merkmal ist „Schulweg“, mögliche Ausprägungen sind „zu Fuß“, „Fahrrad“ und „Bus“. So gehst du vor: Frage formulieren, Grundgesamtheit und Merkmal festlegen, eine passende Stichprobe wählen, eindeutige Antwortmöglichkeiten vorgeben, Daten sammeln und ordnen, dann auswerten und vorsichtig deuten.
Definition
Grundbegriffe einer Erhebung
Die Grundgesamtheit ist die gesamte Gruppe, über die du etwas herausfinden möchtest. Ein Merkmalsträger ist eine einzelne untersuchte Person oder ein untersuchtes Objekt. Eine Stichprobe ist der tatsächlich untersuchte Teil der Grundgesamtheit. Ein Merkmal ist die untersuchte Eigenschaft. Eine Merkmalsausprägung ist ein möglicher Wert des Merkmals.
Merke: Eine Auswertung kann nur so gut sein wie die Daten, auf denen sie beruht. Eine unpassende Stichprobe oder unklare Frage lässt sich durch korrektes Rechnen nicht reparieren.
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Eine Strichliste hilft dir beim Zählen: Je fünf Striche fasst du zu einer Gruppe zusammen. Die absolute Häufigkeit H(x) gibt an, wie oft ein Wert x vorkommt. Die relative Häufigkeit vergleicht diese Anzahl mit allen n Beobachtungen: h(x)=\frac{H(x)}{n} Für die prozentuale Häufigkeit multiplizierst du die relative Häufigkeit mit 100 %.
Beispiel: Wie oft kommt die Note 2 vor?
- 1Notenliste: 2, 3, 1, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 1
- 2Absolute Häufigkeit: H(2)=3
- 3Relative Häufigkeit: h(2)=\frac{3}{10}=0{,}3
- 4Prozentual: 0{,}3\cdot100\,\%=30\,\%
- 530 % der Noten sind Zweien.
Merke: Absolute Häufigkeiten sind Anzahlen. Relative Häufigkeiten liegen zwischen 0 und 1. Prozentuale Häufigkeiten liegen zwischen 0 % und 100 %.
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Kennwerte fassen eine Datenliste in einer Zahl zusammen. Verschiedene Kennwerte beantworten aber verschiedene Fragen. Der arithmetische Mittelwert (Durchschnitt) ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Modus (auch Modalwert) ist der häufigste Wert. Es kann mehrere Modi geben, wenn mehrere Werte gleich oft am häufigsten vorkommen. Kommt jeder Wert gleich oft vor, gibt es keinen besonders häufigen Wert. Für die sortierte Notenliste 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 ergibt sich:
| Kennwert | So bestimmst du ihn | Notenliste |
|---|---|---|
| Mittelwert | Summe : Anzahl | 27 : 10 = 2,7 |
| Median | mittlerer Wert der sortierten Liste | (2 + 3) : 2 = 2,5 |
| Modus | häufigster Wert | 2 (dreimal) |
Definition
Median
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten bildest du den Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Beispiel: Ein Ausreißer in der Liste 2, 3, 3, 4, 18
- 1Mittelwert: \frac{2+3+3+4+18}{5}=6
- 2Median: 3
- 3Modus: 3
- 4Die 18 zieht den Mittelwert nach oben, der Median bleibt bei 3.
- 5Median und Modus beschreiben hier den typischen Wert besser.
Teste dich
Ein Lagewert allein zeigt nicht, wie weit die Daten auseinanderliegen. Das erste Streuungsmaß ist die Spannweite: Maximum minus Minimum. Ein Ausreißer ist ein Wert, der auffällig weit von den übrigen entfernt liegt. Ob ein Wert wirklich einer ist, entscheidest du nicht allein nach seiner Größe, sondern im Zusammenhang. Viele Einzelwerte kannst du zu Klassen zusammenfassen, etwa 41 bis 50 kg, 51 bis 60 kg und 61 bis 70 kg. Das schafft Übersicht, verdeckt aber die genauen Einzelwerte. Lege die Klassen so fest, dass jeder Wert in genau eine Klasse passt. Die deskriptive Statistik beschreibt nur die erhobenen Daten. Die schließende Statistik schließt von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit, und das bleibt immer mit Unsicherheit verbunden.
Beispiel: Spannweite mit und ohne Ausreißer
- 1Notenliste: 5-1=4
- 2Liste 2, 3, 3, 4, 18: 18-2=16
- 3Der eine Wert 18 macht die Spannweite viermal so groß.
| Schritt | Beispiel |
|---|---|
| Beobachtung | 10-mal „jeden Tag“, 15-mal „manchmal“, 5-mal „nie“ |
| zulässige Beschreibung | „Manchmal“ wurde am häufigsten gewählt. |
| nicht belegte Deutung | Die Befragten seien unmotiviert. |
Merke: Beschreibe zuerst, was die Daten tatsächlich zeigen. Formuliere eine Erklärung nur dann als Schlussfolgerung, wenn die Erhebung sie trägt.
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Alles auf einen Blick
Statistik und Datenauswertung
Erhebung
Frage, Grundgesamtheit, Stichprobe und Merkmal vorher festlegen
Häufigkeiten
absolut zählen, relativ durch n teilen, in Prozent mal 100 %
Lagewerte
Mittelwert, Median und Modus beantworten verschiedene Fragen
Streuung
Spannweite ist Maximum minus Minimum, Ausreißer beachten
Deutung
Beobachtung von Interpretation trennen und die Stichprobe prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schulwege von 8 Kindern in Minuten: 15, 10, 46, 12, 15, 5, 15, 10
- 1Sortiert: 5, 10, 10, 12, 15, 15, 15, 46
- 2Mittelwert: \frac{128}{8}=16 Minuten
- 3Median: \frac{12+15}{2}=13{,}5 Minuten
- 4Modus: 15 Minuten (dreimal)
- 5Spannweite: 46-5=41 Minuten
- 6Der lange Weg von 46 Minuten zieht den Mittelwert über den Median.
Fehler finden
Median der Liste 7, 2, 9, 4, 5 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Liste wurde nicht sortiert. Sortiert lautet sie 2, 4, 5, 7, 9, an der 3. Stelle steht also der Median 5.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die ist der tatsächlich befragte Teil. Für den Median musst du die Werte zuerst . Ein Ausreißer verändert meist den stark.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback