Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Lagebeziehung Gerade–Ebene einfach bestimmen
Eine Gerade schneidet eine Ebene, ist echt parallel zu ihr oder liegt in ihr. Du lernst das Einsetzverfahren und deutest das Ergebnis richtig.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Eine Gerade und eine Ebene haben genau einen, keinen oder unendlich viele gemeinsame Punkte. Du setzt die Geradenkoordinaten in die Koordinatenform der Ebene ein: Genau eine Lösung heißt Schnittpunkt, ein Widerspruch wie 0=4 heißt echt parallel, eine wahre Aussage wie 0=0 heißt, die Gerade liegt in der Ebene.
Eine Gerade und eine Ebene haben im Raum entweder genau einen, keinen oder unendlich viele gemeinsame Punkte. Du bestimmst den Fall, indem du die Geradengleichung in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzt und die entstehende Gleichung für den Geradenparameter auswertest.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir die Gerade als unbegrenzt lange Linie und die Ebene als unbegrenzt große Fläche vor. Dann gibt es genau drei Fälle: Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt, sie ist echt parallel zur Ebene und hat keinen Punkt mit ihr gemeinsam, oder sie liegt ganz in der Ebene. Welcher Fall vorliegt, zeigt die Gleichung, die beim Einsetzen entsteht.
| Lage | Gemeinsame Punkte | Ergebnis nach dem Einsetzen |
|---|---|---|
| Die Gerade schneidet die Ebene. | genau einer | genau ein Parameterwert |
| Die Gerade ist echt parallel zur Ebene. | keiner | Widerspruch, zum Beispiel 0=4 |
| Die Gerade liegt in der Ebene. | unendlich viele | Identität, zum Beispiel 0=0 |
Definition
Schnittpunkt
Ein Schnittpunkt ist der einzige gemeinsame Punkt einer schneidenden Geraden und Ebene. Er wird auch Durchstoßpunkt genannt.
Merke: Die Zahl der Lösungen für den Geradenparameter entscheidet über die Lage. Eine einzelne Lösung bedeutet Schnitt, keine Lösung bedeutet echte Parallelität und unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die ganze Gerade in der Ebene liegt.
Teste dich
Eine Gerade g:\vec x=\vec p+t\vec u hat in Komponenten die Form x_1=p_1+tu_1, x_2=p_2+tu_2, x_3=p_3+tu_3. Eine Ebene in Koordinatenform lautet E: ax_1+bx_2+cx_3+d=0. Die Zahlen a, b und c bilden einen Normalenvektor \vec n, der senkrecht auf der Ebene steht. Gehe in vier Schritten vor: Lies x_1, x_2 und x_3 aus der Geradengleichung ab. Setze sie in die Ebenengleichung ein. Löse nach t auf und deute die Lösung. Gibt es genau ein t, setze es in die Gerade ein und prüfe den Punkt in der Ebene. Liegt die Ebene in Parameterform vor, kannst du Gerade und Ebene auch gleichsetzen und ein Gleichungssystem lösen.
Beispiel: Schnittpunkt von g und E: 2x_1-x_3=4
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}, also x_1=2, x_2=1+2r, x_3=3+r
- 2Einsetzen (x_2 kommt in E nicht vor): 2\cdot2-(3+r)=4
- 34-3-r=4
- 4r=-3
- 5\vec S=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\\0\end{pmatrix}, also S(2\mid-5\mid0)
- 6Probe in E: 2\cdot2-0=4, der Punkt liegt in der Ebene
Teste dich
Manchmal fällt der Parameter beim Einsetzen ganz weg. Dann bleibt eine Zahlengleichung übrig. Ist sie eine falsche Aussage wie 0=4, kann kein Parameterwert sie erfüllen: Die Gerade hat keinen Punkt mit der Ebene gemeinsam und ist echt parallel. Ist sie immer wahr, etwa 0=0, erfüllt jeder Parameterwert die Gleichung: Jeder Punkt der Geraden liegt in der Ebene. Verwechsle die beiden Fälle nicht: 0=4 ist nie wahr und bedeutet keine Lösung, 0=0 ist immer wahr und bedeutet unendlich viele. Und hör bei einem Schnitt nicht beim Parameter auf: Ein Wert wie r=-3 ist noch kein Punkt. Setze ihn in alle drei Komponenten ein, auch eine konstante wie x_1=2 gehört zum Schnittpunkt.
Beispiel: Zwei Geraden und die Ebene E: 2x_1-x_3=4
- 1g_1:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}: 2t-2t=4, also 0=4, ein Widerspruch
- 2Kein Parameterwert passt: g_1 ist echt parallel zu E
- 3g_2:\vec x=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}: 2(2+t)-2t=4, also 4=4
- 4Jeder Parameterwert passt: g_2 liegt vollständig in E
Teste dich
Der Normalenvektor \vec n steht senkrecht auf der Ebene. Vergleiche ihn mit dem Richtungsvektor \vec u der Geraden. Gilt \vec n\cdot\vec u=0, verläuft die Gerade parallel zur Ebene. Ob sie echt parallel ist oder in der Ebene liegt, entscheidet eine Punktprobe: Erfüllt der Stützpunkt die Ebenengleichung, liegt die ganze Gerade in der Ebene, sonst ist sie echt parallel. Ist \vec u dagegen ein Vielfaches von \vec n, trifft die Gerade die Ebene im rechten Winkel. In den Beispielen oben ist \vec n=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} und \vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}, also \vec n\cdot\vec u=2-2=0.
Merke: Verwechsle die beiden Kriterien nicht: \vec n\cdot\vec u=0 bedeutet parallel zur Ebene. \vec u=k\vec n bedeutet senkrecht zur Ebene.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lagebeziehung Gerade–Ebene
Einsetzen
Geradenkoordinaten in die Koordinatenform der Ebene
Genau eine Lösung
Schnittpunkt berechnen und prüfen
Widerspruch
Die Gerade ist echt parallel zur Ebene
Wahre Aussage
Die Gerade liegt in der Ebene
Parallele Richtung
\vec n\cdot\vec u=0, dann Stützpunkt prüfen
Rechter Winkel
\vec u ist ein Vielfaches von \vec n
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Schnittpunkt von g und E: x_1+3x_2-2x_3-10=0
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, also x_1=1+\lambda, x_2=2, x_3=\lambda
- 2Einsetzen: (1+\lambda)+3\cdot2-2\lambda-10=0
- 3-\lambda-3=0
- 4\lambda=-3
- 5\vec S=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-3\end{pmatrix}, also S(-2\mid2\mid-3)
- 6Probe in E: -2+3\cdot2-2\cdot(-3)-10=0
Fehler finden
Schnittpunkt von g und E: x_1+x_2+x_3=9 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4t=3 ist nur der Parameter. Eingesetzt in die Gerade: \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}, also S(4\mid3\mid2). Probe: 4+3+2=9.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Hat die Parametergleichung genau eine Lösung, die Gerade die Ebene. Führt das Einsetzen zu einem Widerspruch, ist die Gerade der Ebene. Bei einer wahren Aussage wie 0=0 die Gerade in der Ebene.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback