Mathematik · Klasse 12–13 · aktualisiert
Lagebeziehungen von Geraden bestimmen
Zwei Geraden sind identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Du lernst den Richtungstest, die Punktprobe und das Gleichsetzen.
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Kurz gesagt
Zwei Geraden im Raum sind identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Sind die Richtungsvektoren Vielfache, entscheidet eine Punktprobe zwischen identisch und echt parallel. Sonst setzt du die Geraden gleich: Eine Lösung heißt Schnittpunkt, ein Widerspruch heißt windschief.
Zwei Geraden sind identisch, echt parallel, schneidend oder – nur im Raum – windschief. Du entscheidest das in zwei Stufen: Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren. Führe danach entweder eine Punktprobe durch oder setze die Geraden gleich.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Gerade in Parameterform besteht aus einem Stützvektor und einem Richtungsvektor: g:\vec x=\vec a+r\vec u mit r\in\mathbb R. Der Stützvektor \vec a zeigt zu einem Punkt der Geraden, der Richtungsvektor \vec u gibt ihre Richtung an und darf nicht der Nullvektor sein. Für zwei Geraden g:\vec x=\vec a+r\vec u und h:\vec x=\vec b+s\vec v prüfst du zuerst, ob es eine Zahl \lambda mit \vec u=\lambda\vec v gibt. Dann sind die Richtungsvektoren linear abhängig (kollinear): Sie zeigen in dieselbe oder genau die entgegengesetzte Richtung. Der Richtungstest teilt die vier Fälle in zwei Gruppen, die endgültige Lage liefert er noch nicht.
Merke: Ein gemeinsamer Faktor in allen Koordinaten ist nötig. Unterschiedliche Faktoren in einzelnen Koordinaten bedeuten: Die Richtungsvektoren sind nicht parallel.
| Richtungstest | Noch mögliche Lage |
|---|---|
| \vec u=\lambda\vec v für ein gemeinsames \lambda | identisch oder echt parallel |
| kein gemeinsames \lambda | schneidend oder – im Raum – windschief |
Teste dich
Sind die Richtungsvektoren Vielfache, prüfst du zusätzlich einen Stützpunkt. Setze zum Beispiel den Stützvektor \vec a von g in h ein: \vec a=\vec b+s\vec v. Liefert jede Koordinate denselben Wert für s, liegt der Punkt auf h, und die Geraden sind identisch. Entstehen verschiedene Werte für s oder ein Widerspruch, liegt der Punkt nicht auf h. Dann sind die Geraden echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt.
Beispiel: Identische Geraden
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix},\quad h:\vec x=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}
- 2Richtungstest: \begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}, die Richtungen sind parallel
- 3Punktprobe mit (-1\mid1\mid4) in h: -1=-2+2s, 1=3-4s, 4=1+6s
- 4Alle drei Gleichungen liefern s=\frac12
- 5Parallele Richtungen und ein gemeinsamer Punkt: g und h sind identisch
Beispiel: Echt parallele Geraden
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix},\quad h:\vec x=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}6\\-3\\9\end{pmatrix}
- 2Richtungstest: \begin{pmatrix}6\\-3\\9\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}, die Richtungen sind parallel
- 3Punktprobe mit (1\mid2\mid4) in h: 1=3+6s, 2=-4-3s, 4=1+9s
- 4Das ergibt s=-\frac13, s=-2 und s=\frac13: drei verschiedene Werte
- 5Der Punkt liegt nicht auf h: g und h sind echt parallel
Teste dich
Sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen, setzt du die Geraden gleich: \vec a+r\vec u=\vec b+s\vec v. Aus den Koordinaten entsteht ein lineares Gleichungssystem für r und s. Gibt es ein Wertepaar (r,s), das alle Gleichungen erfüllt, schneiden sich die Geraden. Entsteht ein Widerspruch, gibt es keinen gemeinsamen Punkt: Im Raum sind die Geraden dann windschief. Bei einem Schnitt brauchst du mehr als die Parameter. r und s sind nicht die Koordinaten des Schnittpunkts: Erst das Einsetzen eines Parameters in seine Geradengleichung liefert den Punkt. Kontrolliere ihn dann auf der anderen Geraden.
Definition
Konsistenz
Ein Gleichungssystem ist konsistent, wenn ein und dieselbe Parameterlösung alle Gleichungen erfüllt. Es genügt nicht, nur zwei von drei Koordinatengleichungen zu lösen: Die übrige Gleichung ist die notwendige Konsistenzprobe.
Beispiel: Windschiefe Geraden
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix},\quad h:\vec x=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
- 2Richtungstest: Die Koordinaten ergeben die Faktoren 2, -1 und \frac12, also keinen gemeinsamen Faktor
- 3Gleichsetzen: 1+2r=4+s, 2r=3-2s, 1+r=1+2s
- 4Aus den ersten beiden Gleichungen: r=\frac32 und s=0
- 5Probe in der dritten: 1+\frac32=\frac52, aber 1+2\cdot0=1. Widerspruch, die Geraden sind windschief
Beispiel: Schneidende Geraden
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix},\quad h:\vec x=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}
- 2Gleichsetzen: -3+2r=4-s, -4+2r=3-s, -1+r=1+s
- 3Aus der dritten: r=2+s; in die zweite: -4+2(2+s)=3-s, also s=1 und r=3
- 4Probe in der ersten: -3+2\cdot3=3 und 4-1=3, das System ist konsistent
- 5r=3 in g: \begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}
- 6Kontrolle mit s=1 in h: \begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}, also S(3\mid2\mid2)
Teste dich
In der Ebene gibt es für zwei Geraden nur drei Lagen: identisch, echt parallel oder schneidend. Zwei nicht parallele Geraden einer Ebene schneiden sich immer. Im Raum kann eine Gerade an einer anderen vorbeilaufen, ohne parallel zu ihr zu sein. Dann sind die Geraden windschief, und sie liegen nicht gemeinsam in einer Ebene. „Kein Schnittpunkt“ heißt im Raum also nicht automatisch „parallel“: Erst der Richtungstest trennt die beiden Fälle. Bei Bewegungsaufgaben kommt eine Frage dazu: Schneiden sich nur die Bahnen, oder sind zwei Objekte auch zur selben Zeit am Schnittpunkt? Für die Lage verwendest du zwei unabhängige Parameter r und s. Für eine Kollision müsste zusätzlich derselbe Zeitwert gelten, meist mit t\ge0. Arbeite immer nach demselben Schema: Stütz- und Richtungsvektoren ablesen, Richtungen vergleichen, bei parallelen Richtungen eine Punktprobe machen, sonst gleichsetzen, jede Koordinatengleichung prüfen und einen Schnittpunkt auf beiden Geraden kontrollieren.
| Fehler | Warum er nicht reicht | Besserer nächster Schritt |
|---|---|---|
| „Richtungsvektoren sind Vielfache, also identisch.“ | Auch echt parallele Geraden haben parallele Richtungen. | Punktprobe durchführen. |
| Für jede Koordinate einen anderen Faktor akzeptieren | Linear abhängig heißt: ein gemeinsamer Faktor. | Alle Koordinaten mit demselben \lambda prüfen. |
| Nur zwei von drei Gleichungen lösen | Die dritte kann einen Widerspruch liefern. | Gefundene Werte in jede Gleichung einsetzen. |
| (r,s) als Schnittpunkt notieren | Parameter sind keine Ortskoordinaten. | Einen Parameter in die passende Gerade einsetzen. |
| „Kein Schnitt“ mit „parallel“ gleichsetzen | Im Raum kann die Lage windschief sein. | Zuerst die Richtungsvektoren vergleichen. |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lagebeziehungen von Geraden
Richtungstest
Ein gemeinsamer Faktor in allen Koordinaten bedeutet parallele Richtungen
Identisch
parallele Richtungen, und die Punktprobe gelingt
Echt parallel
parallele Richtungen, aber die Punktprobe scheitert
Schneidend
verschiedene Richtungen und ein konsistentes Gleichungssystem
Windschief
verschiedene Richtungen und ein Widerspruch, nur im Raum möglich
Schnittpunkt
Parameter einsetzen und auf beiden Geraden prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Lage von zwei Geraden bestimmen
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\quad h:\vec x=\begin{pmatrix}4\\5\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
- 2Richtungstest: Die Koordinaten ergeben die Faktoren 1, 2 und -1, also keinen gemeinsamen Faktor
- 3Gleichsetzen: 1+r=4+s, 2r=5+s, 2-r=1+s
- 4Aus der ersten: r=3+s; in die zweite: 6+2s=5+s, also s=-1 und r=2
- 5Probe in der dritten: 2-2=0 und 1+(-1)=0, das System ist konsistent
- 6r=2 in g: \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}, also S(3\mid4\mid0)
- 7Kontrolle mit s=-1 in h: \begin{pmatrix}4\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}
Fehler finden
Schneiden sich g und h? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Die dritte Gleichung wurde nicht geprüft. Mit r=-1 und s=-1 wird aus r=1+s die Aussage -1=0, ein Widerspruch. Die Richtungen sind nicht parallel, also sind g und h windschief.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Sind die Richtungsvektoren Vielfache, sind die Geraden identisch oder . Liefert die Punktprobe dann in jeder Koordinate denselben Parameter, sind sie . Nicht parallele Geraden im Raum ohne gemeinsamen Punkt heißen .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback