Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Krümmungsverhalten mit der zweiten Ableitung
Die Krümmung zeigt, ob die Steigung eines Graphen zu- oder abnimmt. Du lernst, sie mit der zweiten Ableitung zu bestimmen und Wendestellen zu prüfen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Krümmungsverhalten sagt, ob ein Graph links- oder rechtsgekrümmt ist, also ob seine Steigung zu- oder abnimmt. Du bestimmst es mit der zweiten Ableitung: f''(x) > 0 heißt linksgekrümmt, f''(x) < 0 heißt rechtsgekrümmt. Wechselt f'' das Vorzeichen, liegt eine Wendestelle vor.
Ob ein Graph links- oder rechtsgekrümmt ist, erkennst du daran, wie sich seine Steigung verändert. Bei zweimal differenzierbaren Funktionen kannst du dafür das Vorzeichen der zweiten Ableitung f'' untersuchen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad auf dem Graphen von links nach rechts. Dann achtest du nicht nur darauf, ob es bergauf oder bergab geht, sondern wie sich die Steigung verändert. Die erste Ableitung f' beschreibt die Steigung. Nimmt f' auf einem Intervall zu, ist der Graph dort linksgekrümmt. Nimmt f' ab, ist er rechtsgekrümmt.
Definition
Linkskrümmung
Ein Graph ist linksgekrümmt oder konvex, wenn seine Steigung nach rechts zunimmt. Seine Tangenten werden also immer steiler beziehungsweise weniger stark fallend. Der Graph erinnert an eine nach oben offene Schüssel.
Definition
Rechtskrümmung
Ein Graph ist rechtsgekrümmt oder konkav, wenn seine Steigung nach rechts abnimmt. Seine Tangenten werden also immer weniger steil beziehungsweise stärker fallend. Der Graph erinnert an einen nach unten gerichteten Buckel.
Merke: Krümmung beschreibt die Veränderung der Steigung, nicht die Steigung selbst. Auch ein fallender Graph kann linksgekrümmt sein, wenn seine Steigung zunimmt, zum Beispiel von -5 über -3 zu -1.
Teste dich
Die zweite Ableitung f'' gibt an, wie sich f' verändert. Ihr Vorzeichen liefert deshalb die Krümmungsrichtung: f''(x) > 0 heißt linksgekrümmt, f''(x) < 0 heißt rechtsgekrümmt. Für f(x) = 3x^2 ist f''(x) = 6 > 0, der Graph ist überall linksgekrümmt. Für g(x) = -x^2 ist g''(x) = -2 < 0, der Graph ist überall rechtsgekrümmt. Enthält f'' noch ein x, kann das Vorzeichen wechseln. Dann gehst du so vor: f' und f'' bilden, f''(x) = 0 lösen, die Zahlengerade an diesen Stellen teilen und in jedem Intervall das Vorzeichen von f'' mit einem Testwert prüfen.
Merke: Positiv führt nach links, negativ führt nach rechts. Entscheidend ist das Vorzeichen von f'' im untersuchten Intervall.
Beispiel: Krümmungsintervalle von f(x) = x^3 + 3x^2
- 1f'(x) = 3x^2 + 6x
- 2f''(x) = 6x + 6
- 36x + 6 = 0 \Rightarrow x = -1
- 4Für x < -1 ist f''(x) < 0: rechtsgekrümmt auf (-\infty; -1)
- 5Für x > -1 ist f''(x) > 0: linksgekrümmt auf (-1; \infty)
Teste dich
Eine Wendestelle ist eine Stelle, an der der Graph seine Krümmungsrichtung wechselt. Die Gleichung f''(x_0) = 0 liefert nur einen Kandidaten. Sicher wird es erst, wenn f'' bei x_0 das Vorzeichen wechselt. Von negativ zu positiv heißt: Aus Rechts- wird Linkskrümmung. Von positiv zu negativ heißt: Aus Links- wird Rechtskrümmung. Ohne Vorzeichenwechsel gibt es keine Wendestelle.
Beispiel: Wendepunkt von f(x) = x^3 + 3x^2
- 1f''(x) = 6x + 6 wechselt bei x = -1 von negativ zu positiv.
- 2f(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 = 2
- 3Wendepunkt: W(-1 \mid 2)
Beispiel: Warum f''(2) = 0 nicht reicht: f(x) = (x - 2)^4
- 1f''(x) = 12(x - 2)^2 und f''(2) = 0
- 2Links und rechts von 2 ist 12(x - 2)^2 > 0.
- 3Der Graph bleibt linksgekrümmt: keine Wendestelle.
Merke: Nullstelle finden, Vorzeichenwechsel prüfen: Erst der Wechsel der Krümmungsrichtung weist eine Wendestelle nach.
Teste dich
Das Vorzeichen von f'' beantwortet die Frage, in welche Richtung der Graph gekrümmt ist. Der Zahlenwert von f'' ist aber im Allgemeinen kein direktes Maß dafür, wie stark die Kurve gekrümmt ist. Die Krümmungsstärke mit Vorzeichen beschreibt die Formel \kappa(x) = \frac{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}. In ihr steckt also auch die Steigung f'. Für die übliche Bestimmung von Links- und Rechtskrümmung genügt das Vorzeichen von f''. Die Formel brauchst du nur, wenn ausdrücklich nach der Krümmungsstärke gefragt ist.
Beispiel: Krümmungsstärke bei f(x) = x^2
- 1f'(x) = 2x und f''(x) = 2
- 2Bei x = 0: \kappa = \frac{2}{(1 + 0^2)^{3/2}} = 2
- 3Bei x = 1: \kappa = \frac{2}{(1 + 2^2)^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} \approx 0{,}18
- 4Gleiches f'', aber bei x = 1 ist der Graph viel schwächer gekrümmt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Krümmungsverhalten
Veränderung der Steigung
f' nimmt zu: linksgekrümmt; f' nimmt ab: rechtsgekrümmt
Zweite Ableitung
f''>0: linksgekrümmt; f''<0: rechtsgekrümmt
Krümmungsintervalle
Nullstellen von f'' als Grenzen prüfen; Vorzeichen in jedem Intervall bestimmen
Wendestelle
f''=0 liefert einen Kandidaten; Vorzeichenwechsel weist den Wechsel nach
Krümmungsstärke
nicht allein durch den Wert von f'' bestimmt
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Krümmungsverhalten von f(x) = x^4 - 6x^2
- 1f'(x) = 4x^3 - 12x und f''(x) = 12x^2 - 12
- 212x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1 und x_2 = 1
- 3Testwerte: f''(-2) = 36 > 0, f''(0) = -12 < 0, f''(2) = 36 > 0
- 4Linksgekrümmt auf (-\infty; -1) und (1; \infty), rechtsgekrümmt auf (-1; 1)
- 5Zwei Vorzeichenwechsel: f(1) = 1 - 6 = -5 und f(-1) = 1 - 6 = -5, also W_1(-1 \mid -5) und W_2(1 \mid -5)
Fehler finden
Wendestellen von f(x) = x^4 + 2x In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4f''(0) = 0 liefert nur einen Kandidaten. Links und rechts von 0 ist 12x^2 > 0, es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Der Graph ist überall linksgekrümmt, f hat keine Wendestelle.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ist f'' in einem Intervall , ist der Graph dort linksgekrümmt. Ist f'' , ist er rechtsgekrümmt. Nullstellen von f'' sind zunächst nur .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback