Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Ober- und Untersumme einfach erklärt
Ober- und Untersumme schließen ein Integral mit Rechtecken ein. Du lernst, beide zu berechnen, und siehst, warum feinere Zerlegungen genauer werden.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ober- und Untersumme nähern ein bestimmtes Integral mit Rechtecken an. Für die Untersumme nimmst du in jedem Teilintervall den kleinsten Funktionswert als Höhe, für die Obersumme den größten. Es gilt U \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq O, und je feiner die Zerlegung, desto enger liegen beide am Integral.
Wie groß ist die Fläche unter einer Kurve, wenn du keine Formel dafür hast? Du legst Rechtecke darunter und darüber. Die Rechtecke, die ganz unter dem Graphen bleiben, ergeben die Untersumme. Die Rechtecke, die ihn überragen, ergeben die Obersumme. Dazwischen liegt der gesuchte Wert, und mit schmaleren Rechtecken wird die Eingrenzung immer enger.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Zerlege das Intervall [a, b] in kleinere Teilintervalle. Über jedem Teilintervall entsteht ein Rechteck, dessen Breite die Länge des Teilintervalls ist. Bezeichne die Breite des i-ten Teilintervalls mit \Delta x_i, seinen kleinsten Funktionswert mit m_i und seinen größten mit M_i. Dann gilt U = \sum_i m_i \cdot \Delta x_i und O = \sum_i M_i \cdot \Delta x_i. Für eine stetige Funktion gilt bei derselben Zerlegung U \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq O. Liegt der Graph ganz oberhalb der x-Achse, ist das Integral zugleich der Flächeninhalt zwischen Graph und Achse.
Definition
Untersumme und Obersumme
Für die Untersumme U wählst du in jedem Teilintervall den kleinsten Funktionswert als Rechteckhöhe, für die Obersumme O den größten. Beide sind die Summe dieser orientierten Rechteckflächen.
Merke: Kleinster Wert ergibt Untersumme, größter Wert ergibt Obersumme. Linke und rechte Randwerte darfst du nur verwenden, wenn die Monotonie der Funktion dazu passt.
Teste dich
Betrachte f(x) = x^2 auf [0, 2] mit vier gleich breiten Teilintervallen. Die Breite ist \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}. Die Funktion steigt auf [0, 2]. Deshalb liefern die linken Randwerte die kleinsten und die rechten Randwerte die größten Werte jedes Teilintervalls.
Beispiel: f(x) = x^2 auf [0, 2] mit vier Teilintervallen
- 1Breite: \Delta x = \frac{1}{2}
- 2Untersumme: U = \frac{1}{2} \cdot (0^2 + 0{,}5^2 + 1^2 + 1{,}5^2) = \frac{7}{4} = 1{,}75
- 3Obersumme: O = \frac{1}{2} \cdot (0{,}5^2 + 1^2 + 1{,}5^2 + 2^2) = \frac{15}{4} = 3{,}75
- 4Exakter Wert: \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}667
- 5Kontrolle: 1{,}75 \leq 2{,}667 \leq 3{,}75
Teste dich
Bei gleich breiten Teilintervallen heißt ihre Breite auch Feinheit. Für n Teilintervalle über [a, b] gilt \Delta x = \frac{b - a}{n}. Je größer n wird, desto schmaler werden die Rechtecke und desto besser passen sie sich dem Graphen an. Wird eine Zerlegung durch zusätzliche Teilungspunkte verfeinert, kann die Untersumme nicht kleiner und die Obersumme nicht größer werden. Für stetige Funktionen nähern sich beide bei verschwindender Feinheit demselben Grenzwert: \lim U = \int_a^b f(x)\,dx = \lim O. Die Differenz O - U zeigt, wie breit das Intervall ist, in dem der Integralwert sicher liegt.
| Teilintervalle | Breite | Untersumme | Obersumme | Abstand O − U |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 0,5 | 1,75 | 3,75 | 2 |
| 8 | 0,25 | 2,1875 | 3,1875 | 1 |
Merke: Für f(x) = x^2 auf [0, 2] halbiert sich der Abstand O - U, wenn du die Anzahl der Teilintervalle verdoppelst. Der exakte Wert \frac{8}{3} \approx 2{,}667 liegt immer dazwischen.
Teste dich
Ein bestimmtes Integral beschreibt eine orientierte Fläche. Rechtecke oberhalb der x-Achse zählen positiv, Rechtecke unterhalb der Achse negativ. Bei einem Vorzeichenwechsel können sich positive und negative Beiträge teilweise aufheben. Ober- und Untersumme bildest du trotzdem weiter mit den kleinsten und größten vorzeichenbehafteten Funktionswerten.
Beispiel: Konstante Funktion f(x) = -1 auf [0, 1]
- 1Kleinster und größter Funktionswert sind gleich: -1
- 2U = O = (-1) \cdot 1 = -1
- 3Auch das Integral ist -1.
- 4Der geometrische Flächeninhalt des Rechtecks ist dagegen 1.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ober- und Untersumme
Zerlegung
das Intervall in Teilintervalle der Breite \Delta x_i teilen
Untersumme
kleinster Funktionswert mal Breite, aufsummiert
Obersumme
größter Funktionswert mal Breite, aufsummiert
Einschließung
U \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq O
Feinere Zerlegung
beide Summen nähern sich dem Integral
Orientierte Fläche
Beiträge unter der Achse zählen negativ
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
f(x) = 4 - x^2 auf [0, 2] mit vier Teilintervallen
- 1Breite: \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5
- 2f fällt auf [0, 2]: Die rechten Randwerte sind die kleinsten, die linken die größten.
- 3Werte: f(0) = 4, f(0{,}5) = 3{,}75, f(1) = 3, f(1{,}5) = 1{,}75, f(2) = 0
- 4Untersumme: U = 0{,}5 \cdot (3{,}75 + 3 + 1{,}75 + 0) = 4{,}25
- 5Obersumme: O = 0{,}5 \cdot (4 + 3{,}75 + 3 + 1{,}75) = 6{,}25
- 6Kontrolle: \int_0^2 (4 - x^2)\,dx = \frac{16}{3} \approx 5{,}33 liegt zwischen 4,25 und 6,25.
Fehler finden
f(x) = 9 - x^2 auf [0, 3] mit drei Teilintervallen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3f fällt auf [0, 3], also liegt der kleinste Wert jedes Teilintervalls am rechten Rand. Richtig ist U = 1 \cdot (8 + 5 + 0) = 13 und O = 1 \cdot (9 + 8 + 5) = 22. Das Integral 18 liegt dazwischen.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für die Untersumme verwendest du in jedem Teilintervall den Funktionswert. Für die Obersumme verwendest du den Funktionswert. Jede Rechteckfläche entsteht aus Höhe mal .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback