Mathematik · Klasse 10–11 · aktualisiert
Geometrische Folge: Formeln, Verhalten und Summen
Bei einer geometrischen Folge wird immer mit demselben Faktor multipliziert. Du lernst ihre Formeln, ihr Verhalten und die Summe der ersten Glieder.
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Kurz gesagt
Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit demselben Faktor q entsteht, etwa 3, 6, 12, 24 mit q = 2. Die explizite Formel lautet a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. Für q \ne 1 ist die Summe der ersten n Glieder s_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}.
Bei einer geometrischen Folge entsteht jedes neue Glied, indem du das vorherige mit demselben Faktor q multiplizierst. Kennst du das Anfangsglied und q, kannst du jedes Folgenglied und auch die Summe der ersten Glieder berechnen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, ein Wert wird in jedem Schritt verdoppelt: 1, 2, 4, 8, 16, … Der feste Faktor ist hier q = 2. Um eine Folge zu prüfen, teilst du mehrere benachbarte Glieder durcheinander. Bei 3, 6, 12, 24, … ist der Quotient immer 2, die Folge ist geometrisch. Bei 3, 6, 9, 12, … ist dagegen die Differenz immer 3. Diese Folge ist eine arithmetische Folge, aber keine geometrische.
Definition
Geometrische Folge
Eine Folge (a_n) heißt geometrisch, wenn bei jedem Schritt derselbe Faktor q gilt: a_{n+1} = q \cdot a_n. Ist a_n \ne 0, kannst du den Faktor als Quotienten berechnen: q = \frac{a_{n+1}}{a_n}.
Merke: Geometrisch heißt: immer mit demselben Faktor multiplizieren. Arithmetisch heißt: immer dieselbe Zahl addieren.
Teste dich
Die rekursive Darstellung nennt das Anfangsglied und den nächsten Schritt, zum Beispiel a_1 = 3 und a_{n+1} = 4 \cdot a_n. Damit erhältst du nacheinander 3, 12, 48, 192, … Für ein weit entferntes Glied brauchst du so aber viele Zwischenschritte. Die explizite Darstellung führt direkt zu jedem Glied. Vom ersten bis zum n-ten Glied wird der Faktor genau (n - 1)-mal angewendet: a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.
Beispiel: Das siebte Glied für a_1 = 3 und q = 4
- 1Von a_1 bis a_7 sind es 6 Schritte.
- 2a_7 = 3 \cdot 4^{7-1} = 3 \cdot 4^6
- 3a_7 = 3 \cdot 4096 = 12.288
- 4Probe mit der Rekursion: 3, 12, 48, 192, 768, 3072, 12.288
Merke: Startet die Zählung bei a_0, verschiebt sich der Exponent: Dann gilt a_n = a_0 \cdot q^n. Prüfe also immer, ob die Folge bei 0 oder bei 1 beginnt.
Teste dich
Für a_1 > 0 liest du das Verhalten direkt an q ab. Allgemein gilt für a_1 \ne 0: Bei |q| < 1 nähern sich die Glieder der 0. Bei |q| > 1 wachsen die Beträge ohne Schranke. Ein negatives q sorgt dafür, dass die Vorzeichen von Glied zu Glied wechseln. In der Rekursion darf auch q = 0 sein. Dann ist ab a_2 jedes Glied 0, und die Quotientenform funktioniert nicht mehr, weil du nicht durch 0 teilen darfst.
| Faktor q | Verhalten | Beispiel |
|---|---|---|
| q > 1 | positive Glieder wachsen | 2, 6, 18, … |
| q = 1 | Folge bleibt konstant | 2, 2, 2, … |
| 0 < q < 1 | positive Glieder fallen und nähern sich 0 | 8, 4, 2, 1, … |
| -1 < q < 0 | Vorzeichen wechseln, Beträge nähern sich 0 | 4, −2, 1, −0,5, … |
| q = -1 | Werte springen zwischen a_1 und -a_1 | 4, −4, 4, −4, … |
| q < -1 | Vorzeichen wechseln, Beträge wachsen | 1, −4, 16, −64, … |
Teste dich
Die Summe der ersten n Glieder heißt Partialsumme: s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n. Für q \ne 1 musst du nicht jedes Glied einzeln addieren. Es gilt s_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}. Die gleichwertige Form s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} ist bei q > 1 oft bequemer, weil dann Zähler und Nenner positiv sind.
Beispiel: Die ersten vier Glieder für a_1 = 5 und q = 0{,}2
- 1s_4 = 5 \cdot \frac{1 - 0{,}2^4}{1 - 0{,}2}
- 2s_4 = 5 \cdot \frac{1 - 0{,}0016}{0{,}8} = 5 \cdot 1{,}248 = 6{,}24
- 3Probe: 5 + 1 + 0,2 + 0,04 = 6,24
Merke: Für q = 1 ist der Nenner 0, die Bruchformel gilt dann nicht. Alle Glieder sind gleich, also ist s_n = n \cdot a_1.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Geometrische Folge
Erkennen
Der Quotient \frac{a_{n+1}}{a_n} ist immer derselbe Faktor q
Rekursiv
a_{n+1} = q \cdot a_n mit einem Anfangsglied
Explizit
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, bei Start mit a_0 gilt a_n = a_0 \cdot q^n
Verhalten
|q| < 1 Richtung 0, |q| > 1 wachsende Beträge, q < 0 Vorzeichenwechsel
Summe
s_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} für q \ne 1, sonst s_n = n \cdot a_1
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie hoch springt der Ball nach dem 4. Aufprall?
- 1Ein Ball fällt aus 2 m Höhe und springt jedes Mal auf 60 % der vorherigen Höhe.
- 2Erster Sprung: 2 m · 0,6 = 1,2 m, also a_1 = 1{,}2 und q = 0{,}6
- 3a_n = 1{,}2 \cdot 0{,}6^{n-1}
- 4a_4 = 1{,}2 \cdot 0{,}6^3 = 1{,}2 \cdot 0{,}216 = 0{,}2592
- 5Nach dem 4. Aufprall springt der Ball etwa 26 cm hoch.
Fehler finden
Das 5. Glied der Folge 2, 6, 18, … In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In Zeile 3 steht der Exponent 5. Von a_1 bis a_5 sind es aber nur 4 Schritte: a_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für eine bei a_1 beginnende geometrische Folge gilt a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. Beim Glied a_6 ist der Exponent deshalb . Bei a_1 = 2 und q = -3 ergibt sich a_5 = 2 \cdot (-3)^4, also . In der Rekursion steht der feste Faktor zwischen .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback