Mathematik · Klasse 11–12 · aktualisiert
Horner-Schema: Polynome schnell berechnen
Mit dem Horner-Schema berechnest du Funktionswerte von Polynomen, teilst durch einen Linearfaktor und prüfst Nullstellen, nur mit Mal und Plus.
0 von 12 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren für Polynome: Du übernimmst den ersten Koeffizienten und rechnest dann immer abwechselnd „mal c“ und „plus nächster Koeffizient“. Der letzte Wert ist P(c) und zugleich der Rest bei der Division durch x-c. Ist er 0, ist c eine Nullstelle.
Mit dem Horner-Schema wertest du ein Polynom durch wiederholtes Multiplizieren und Addieren aus. Dieselbe Rechnung zeigt bei einem Divisor x-c zugleich den Quotienten und den Rest. Ist der Rest 0, ist c eine Nullstelle.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bevor du rechnest, ordnest du das Polynom nach absteigenden Potenzen. Für jede fehlende Potenz setzt du den Koeffizienten 0 ein. Aus P(x)=2x^3-5 wird so P(x)=2x^3+0x^2+0x-5, die Koeffizientenfolge lautet 2, 0, 0, -5. Wenn du durch x-c teilst, trägst du links den Wert c ein. Achte dabei auf das Vorzeichen: Bei x-3 ist c=3, bei x+3=x-(-3) ist c=-3.
Definition
Horner-Schema
Ein Verfahren, das ein Polynom an einer Stelle c durch wiederholtes Multiplizieren mit c und Addieren des nächsten Koeffizienten auswertet. Dieselbe Rechnung liefert den Quotienten und den Rest bei der Division durch x-c.
Merke: Ordnen, Lücken mit 0 füllen und das Vorzeichen von c prüfen: Diese Vorbereitung verhindert die häufigsten Fehler.
Teste dich
Für einen Wert x=c folgt das Schema immer demselben Rhythmus: Übernimm den ersten Koeffizienten. Multipliziere den bisherigen Wert mit c und addiere den nächsten Koeffizienten. Wiederhole das bis zum Ende. Der letzte Wert ist P(c). Du musst dabei keine Potenzen wie 2^3 oder 2^4 getrennt ausrechnen, das macht das Verfahren so kompakt.
Beispiel: f(2) für f(x)=3x^4-4x^2-2x+9
- 1Fehlenden Term ergänzen: f(x)=3x^4+0x^3-4x^2-2x+9
- 2Koeffizienten 3, 0, -4, -2, 9 und c=2
- 3Start: 3
- 43\cdot2+0=6
- 56\cdot2-4=8
- 68\cdot2-2=14
- 714\cdot2+9=37
- 8Also f(2)=37
Teste dich
Bei der Division durch x-c hat dieselbe Rechnung eine zweite Bedeutung: P(x)=(x-c)\cdot Q(x)+r. Die unteren Werte außer dem letzten sind die Koeffizienten des Quotienten Q(x). Der letzte Wert ist der Rest r, und es gilt r=P(c). Der Quotient hat einen Grad weniger als das Ausgangspolynom.
| x^3-3x^2+2 durch x-1 | x^3 | x^2 | x | Zahl |
|---|---|---|---|---|
| Koeffizienten | 1 | -3 | 0 | 2 |
| Produkte mit c=1 | 1 | -2 | -2 | |
| Ergebnisse | 1 | -2 | -2 | 0 |
Beispiel: Quotient und Rest ablesen
- 1Ergebnisse 1, -2, -2 und zuletzt 0
- 2Quotient: Q(x)=x^2-2x-2
- 3Rest: 0
- 4x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)
Merke: Die letzte Zahl beantwortet zwei Fragen gleichzeitig: Sie ist der Divisionsrest und der Funktionswert P(c).
Teste dich
Eine Zahl c ist genau dann eine Nullstelle von P, wenn P(c)=0 gilt. Weil der letzte Horner-Wert zugleich P(c) und der Rest ist, gilt: P(c)=0 genau dann, wenn der Rest r=0 ist, und genau dann ist x-c ein Faktor von P. Bei ganzzahligen Koeffizienten muss eine ganzzahlige Nullstelle das konstante Glied teilen. Das liefert Kandidaten, aber keine Garantie: Jeden musst du prüfen, und nicht ganzzahlige Nullstellen findest du so nicht. Ist c keine Nullstelle, bleibt einfach ein Rest ungleich 0. Bei einem quadratischen Polynom ist die Lösungsformel meist direkter, bei 2x^4+4x^2-6 hilft die Substitution u=x^2.
Beispiel: Nullstellen von P(x)=x^3-7x-6
- 10x^2 ergänzen: Koeffizienten 1, 0, -7, -6
- 2Kandidat c=-1 prüfen. Start: 1
- 31\cdot(-1)+0=-1
- 4(-1)\cdot(-1)-7=-6
- 5(-6)\cdot(-1)-6=0
- 6Rest 0: -1 ist Nullstelle, Q(x)=x^2-x-6
- 7x^2-x-6=(x-3)(x+2)
- 8P(x)=(x+1)(x-3)(x+2), Nullstellen -2, -1 und 3
Teste dich
Alles auf einen Blick
Horner-Schema
Vorbereitung
Polynom ordnen; Nullkoeffizienten ergänzen
Rechenregel
ersten Koeffizienten übernehmen; multiplizieren und addieren
Funktionswert
letzter Wert ist P(c)
Teilen durch x − c
vorherige Werte bilden Q(x); letzter Wert ist der Rest
Nullstellen
Rest 0 bestätigt c; Faktor x-c wird abgespalten
Fehlerkontrolle
Vorzeichen von c prüfen; Quotientengrad um 1 senken
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
P(x)=2x^3-3x^2-11x+6 durch x-3 teilen
- 1Koeffizienten 2, -3, -11, 6 und c=3
- 2Start: 2
- 32\cdot3-3=3
- 43\cdot3-11=-2
- 5(-2)\cdot3+6=0
- 6Rest 0: 3 ist Nullstelle, Q(x)=2x^2+3x-2
- 72x^2+3x-2=(2x-1)(x+2), also Nullstellen -2, \frac{1}{2} und 3
Fehler finden
P(2) für P(x)=x^3-4x+3 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Der Term mit x^2 fehlt und braucht den Koeffizienten 0: 1, 0, -4, 3. Dann folgt 1\cdot2+0=2, 2\cdot2-4=0 und 0\cdot2+3=3, also P(2)=3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Für 4x^3-7x+2 lautet die vollständige Form . Die Koeffizienten sind . Beim Divisor x+2 trägst du ein.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback