Gebrochenrationale Funktionen analysieren

Eine Funktion ist gebrochenrational, wenn sie sich als Quotient zweier Polynome schreiben lässt: f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}. Dabei darf q nicht das Nullpolynom sein, und für jeden eingesetzten Wert muss q(x) \ne 0 gelten. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, heißt die Funktion echt gebrochenrational. Ist er mindestens so groß, heißt sie unecht gebrochenrational. Dann liefert eine Polynomdivision einen ganzrationalen Anteil und einen echt gebrochenrationalen Rest.

Jede Nullstelle des ursprünglichen Nenners ist ausgeschlossen: D_f = \{x \in \mathbb R \mid q(x) \ne 0\}. Schreibe diese Werte auf, bevor du kürzt. Ohne diese Bedingung wäre der gekürzte Term an einer weggekürzten Stelle plötzlich definiert. Die ursprüngliche Funktion bleibt dort aber undefiniert. Außerdem darfst du nur gemeinsame Faktoren kürzen, keine Summanden. Das folgende Leitbeispiel begleitet dich durch den ganzen Artikel.

Eine ursprüngliche Nennernullstelle erzeugt immer eine Definitionslücke. Nach vollständigem Faktorisieren und Kürzen erkennst du ihre Art. Der Ausdruck \frac00 entscheidet dabei noch nichts, er weist nur auf einen gemeinsamen Faktor hin. Beim Leitbeispiel ist x = 5 eine hebbare Lücke. Bei x = -3 bleibt der Faktor (x + 3) im Nenner: Das ist eine Polstelle, die Gerade x = -3 eine senkrechte Asymptote. Für die Richtung betrachtest du beide Seiten getrennt. Nahe -3 ist der Zähler x + 2 negativ. Links von -3 ist auch x + 3 negativ, rechts davon positiv. Daher gilt \lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty und \lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty. Allgemein führt eine ungerade Vielfachheit des verbleibenden Nennerfaktors zu einem Vorzeichenwechsel, eine gerade nicht.

Eine Funktionsnullstelle muss zwei Bedingungen erfüllen: p(x) = 0 und q(x) \ne 0. Im Leitbeispiel liefert der Zähler die Kandidaten x = 5 und x = -2. Der Wert 5 ist ausgeschlossen, also hat f nur die Nullstelle x = -2. Für das Verhalten im Unendlichen vergleichst du die Grade oder führst eine Polynomdivision durch. Alle Arten von Asymptoten erklärt auch der Artikel Asymptote. Im Leitbeispiel sind die Grade gleich und beide Leitkoeffizienten 1, also ist y = 1 die waagerechte Asymptote. Die Umformung \frac{x+2}{x+3} = 1 - \frac{1}{x+3} zeigt genauer: Für x \to +\infty nähert sich der Graph der 1 von unten, für x \to -\infty von oben. Für eine vollständige Analyse gehst du immer gleich vor: Nenner faktorisieren und ausgeschlossene Werte notieren, Zähler faktorisieren und kürzen, jede Nennernullstelle als Lücke oder Pol einordnen, Lochhöhe berechnen, erlaubte Zählernullstellen bestimmen, Asymptoten ermitteln und zum Schluss skizzieren.