Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kreiszahl Pi einfach erklärt: Bedeutung und Formeln
Pi ist bei jedem Kreis das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser. Du lernst, wie du damit rechnest und warum 3,14 nur eine Näherung ist.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Kreiszahl \pi ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, das bei jedem Kreis gleich ist: \pi = \frac{U}{d} \approx 3{,}14. Mit ihr berechnest du den Umfang U = \pi d und die Fläche A = \pi r^2. \pi ist irrational: Die Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nicht.
Die Kreiszahl \pi beschreibt bei jedem euklidischen Kreis dasselbe Verhältnis: Der Umfang ist \pi-mal so groß wie der Durchmesser. Näherungsweise gilt \pi \approx 3{,}14. Auf dieser Seite entdeckst du diese Beziehung durch Messen, verwendest \pi in Kreisformeln und ordnest wichtige Eigenschaften der Zahl ein.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Nimm einen beliebigen Kreis und teile seinen Umfang U durch seinen Durchmesser d. Du erhältst immer dieselbe Zahl: \pi. Ein größerer Kreis hat zwar einen größeren Umfang, sein Durchmesser wächst aber im gleichen Verhältnis. Deshalb bleibt der Quotient \frac{U}{d} gleich.
Definition
Kreiszahl Pi
Die Kreiszahl \pi ist das Verhältnis des Kreisumfangs U zum Durchmesser d: \pi = \frac{U}{d}. Sie hat keine Einheit, weil sich beim Teilen gleiche Einheiten wegkürzen, zum Beispiel \mathrm{cm} durch \mathrm{cm}.
Merke: \pi ist nicht einfach „der Umfang eines Kreises“. Die Zahl beschreibt das feste Verhältnis von Umfang und Durchmesser.
Teste dich
Aus \pi = \frac{U}{d} folgt durch Multiplikation mit d die Umfangsformel U = \pi d. Weil der Durchmesser doppelt so lang ist wie der Radius, gilt auch U = 2\pi r. Für den Flächeninhalt gilt A = \pi r^2, also ist auch \frac{A}{r^2} bei jedem Kreis gleich \pi. Pi steckt außerdem im Bogenmaß: Dort misst man Winkel über Bogenlängen, und ein Vollkreis sind 2\pi Radiant.
Beispiel: Kreis mit r = 3{,}5\,\mathrm{cm}
- 1Durchmesser: d = 2 \cdot 3{,}5\,\mathrm{cm} = 7\,\mathrm{cm}
- 2Umfang: U = \pi \cdot 7\,\mathrm{cm} \approx 22{,}0\,\mathrm{cm}
- 3Fläche: A = \pi \cdot (3{,}5\,\mathrm{cm})^2 = 12{,}25\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 38{,}5\,\mathrm{cm}^2
| Gradmaß | Bogenmaß |
|---|---|
| 360^\circ | 2\pi\,\mathrm{rad} |
| 180^\circ | \pi\,\mathrm{rad} |
| 45^\circ | \frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad} \approx 0{,}79\,\mathrm{rad} |
Teste dich
Du kannst \pi mit runden Gegenständen untersuchen. Miss den Durchmesser durch den Mittelpunkt, leg einen Faden einmal um den Rand und berechne \frac{U}{d}. Sorgfältige Messungen landen ungefähr bei 3{,}14. Kleine Abweichungen kommen von einem schiefen Faden oder einer ungenauen Mitte. Ein Messversuch veranschaulicht die Beziehung, beweist sie aber nicht. Archimedes schloss um 250 v. Chr. den Kreis zwischen ein inneres und ein äußeres Vieleck ein: Das innere hat einen kleineren, das äußere einen größeren Umfang als der Kreis. Heute berechnen Computer mit schnellen Algorithmen sehr viele Stellen.
Beispiel: Messung an einem Kreis mit d = 1\,\mathrm{cm}
- 1Gemessen: U \approx 3{,}14\,\mathrm{cm}
- 2\frac{U}{d} \approx \frac{3{,}14\,\mathrm{cm}}{1\,\mathrm{cm}} = 3{,}14
- 3Die Einheiten kürzen sich, übrig bleibt eine Näherung für \pi.
Beispiel: Archimedes mit 96-Ecken
- 1\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}
- 23{,}1408\ldots < \pi < 3{,}1428\ldots
- 3Mehr Ecken: Die Vielecke schmiegen sich enger an den Kreis.
Merke: Eine genauere Näherung liefert mehr verlässliche Stellen. Sie wird dadurch aber nie zum endlichen exakten Dezimalwert von \pi.
Teste dich
Die Dezimaldarstellung beginnt mit \pi = 3{,}141592653589793\ldots Die Punkte bedeuten nicht, dass die Zahl unbekannt wäre, sondern dass die Stellen unendlich weitergehen. Deshalb sind 3{,}14 und \frac{22}{7} \approx 3{,}1429 nur Näherungen. Nicht jede irrationale Zahl ist transzendent: \sqrt{2} ist irrational, löst aber x^2 - 2 = 0 und ist deshalb algebraisch. Weil \pi transzendent ist, kann man einen Kreis nicht exakt mit Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat verwandeln, die berühmte Quadratur des Kreises. Ob in den Stellen von \pi alle Ziffernfolgen gleich oft vorkommen, ist übrigens bis heute nicht bewiesen.
Definition
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und wird nicht periodisch. \pi ist irrational.
Definition
Transzendente Zahl
Eine transzendente Zahl ist keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten. \pi ist transzendent und damit auch irrational.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kreiszahl Pi
Bedeutung
Verhältnis U/d \approx 3{,}14
Kreisumfang
U = \pi d = 2\pi r
Kreisfläche
A = \pi r^2
Zahleneigenschaften
irrational und transzendent
Bogenmaß
Vollkreis entspricht 2\pi Radiant
Annäherung
Messungen, Vielecke und Algorithmen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Fahrradreifen mit d = 70\,\mathrm{cm}
- 1Eine Umdrehung ist ein Umfang: U = \pi \cdot 70\,\mathrm{cm} \approx 219{,}91\,\mathrm{cm}
- 2Mit \pi \approx 3{,}14: U \approx 3{,}14 \cdot 70\,\mathrm{cm} = 219{,}8\,\mathrm{cm}
- 3Die Näherung liegt nur etwa 0{,}1\,\mathrm{cm} daneben.
- 4100 Umdrehungen: 100 \cdot 219{,}91\,\mathrm{cm} = 21.991\,\mathrm{cm}, also rund 220 m
Fehler finden
Umfang eines Kreises mit r = 4{,}5\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Eingesetzt wurde der Radius statt des Durchmessers. Mit d = 2r = 9\,\mathrm{cm} ist U = \pi \cdot 9\,\mathrm{cm} \approx 28{,}27\,\mathrm{cm}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
\pi ist das Verhältnis von Umfang zu . Der Durchmesser ist so groß wie der Radius. Die Nachkommastellen von \pi sind .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback