Kreisbogen berechnen: Formeln einfach erklärt

Wähle zwei Punkte A und B auf einer Kreislinie. Die beiden Radien von A und B zum Mittelpunkt schließen den Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel \alpha ein. Der zu diesem Winkel gehörende Teil der Kreislinie ist ein Kreisbogen. Zwei Randpunkte teilen die Kreislinie immer in zwei Bögen. Deshalb kann \widehat{AB} mehrdeutig sein. Ein dritter Punkt macht den gemeinten Bogen eindeutig: \widehat{ACB} bezeichnet den Bogen von A nach B, der durch C führt. Sind A und B gegenüberliegende Punkte, sind beide Bögen gleich lang. Verwechsle Länge und Fläche nicht: Der Kreisbogen ist ein Teil der Außenlinie und wird in Längeneinheiten wie Zentimetern angegeben. Der Kreissektor oder Kreisausschnitt ist eine Fläche und wird zum Beispiel in Quadratzentimetern angegeben.

Ein Vollkreis hat den Winkel 360^\circ und den Umfang U=2\pi r=\pi d. Bogenlänge und Mittelpunktswinkel sind proportional: Verdoppelst du bei unverändertem Radius den Winkel, verdoppelt sich auch die Bogenlänge. Der Anteil des Bogens am Umfang ist daher genauso groß wie der Anteil des Winkels am Vollwinkel: \frac{b}{U}=\frac{\alpha}{360^\circ} Ein schneller Plausibilitätscheck hilft: Bei 90^\circ muss ein Viertel des Umfangs herauskommen, bei 180^\circ die Hälfte und bei 270^\circ drei Viertel. Gehe in drei Schritten vor: Prüfe, ob Radius r oder Durchmesser d gegeben ist. Bestimme den Winkelanteil \frac{\alpha}{360^\circ}. Multipliziere diesen Anteil mit dem ganzen Kreisumfang. Setzt du r oder d in Zentimetern ein, erhältst du die Bogenlänge in Zentimetern.

Ist die Bogenlänge gegeben, kann der Radius oder Durchmesser gesucht sein. Stelle die Formel zuerst um und setze erst danach Zahlen ein. Aus b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi d folgt durch Multiplikation mit 360^\circ und Division durch \alpha\pi: d=\frac{360^\circ\cdot b}{\alpha\pi} Für den Radius gilt entsprechend: r=\frac{180^\circ\cdot b}{\alpha\pi} Radius und Bogenlänge müssen zur selben Längeneinheit passen. Wandle zum Beispiel Millimeter in Zentimeter um, bevor du Werte gemeinsam einsetzt.

Ein Winkel kann statt in Grad auch im Bogenmaß angegeben werden. Im Bogenmaß ist der Winkel als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert: \alpha=\frac{b}{r} Daraus folgt direkt: b=r\alpha Bei Taschenrechneraufgaben bedeutet DEG Gradmaß und RAD Bogenmaß. Für die hier gezeigte Gradformel musst du Winkelwerte in Grad einsetzen; für b=r\alpha muss der Winkel im Bogenmaß vorliegen.