Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Kreissektor und Kreisbogen berechnen
Kreisbogen und Kreissektor sind Teile eines Kreises. Du lernst, beide über den Winkelanteil zu berechnen und Umkehraufgaben zu lösen.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie, ein Kreissektor das zugehörige Tortenstück der Kreisfläche. Beide berechnest du über den Winkelanteil \frac{\alpha}{360^\circ}: b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r und A_s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2.
Ein Kreisbogen ist ein Teil des Kreisumfangs, ein Kreissektor ein Teil der Kreisfläche. Beide gehören zum selben Mittelpunktswinkel \alpha: Der Bruch \frac{\alpha}{360^\circ} sagt, welcher Anteil des ganzen Kreises gemeint ist.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir zwei Radien vor, die vom Mittelpunkt zur Kreislinie führen. Zusammen mit dem Bogen zwischen ihren Endpunkten begrenzen sie einen Kreissektor. Der von den beiden Radien eingeschlossene Winkel heißt Mittelpunktswinkel \alpha. Eine Kreissehne verbindet dagegen zwei Punkte der Kreislinie als gerade Strecke. Ein Kreissegment liegt zwischen einer solchen Sehne und einem Kreisbogen.
Definition
Kreisbogen
Der Kreisbogen b ist ein Teil der Kreislinie. Er ist eine Länge und hat deshalb zum Beispiel die Einheit \mathrm{cm}.
Definition
Kreissektor
Der Kreissektor, auch Kreisausschnitt genannt, ist die Fläche zwischen zwei Radien und dem zugehörigen Kreisbogen. Seine Fläche A_s hat zum Beispiel die Einheit \mathrm{cm}^2.
Teste dich
Ein Vollkreis hat 360^\circ. Deshalb gibt der Bruch \frac{\alpha}{360^\circ} an, welchen Anteil des ganzen Kreises der Mittelpunktswinkel \alpha ausschneidet. Derselbe Anteil gilt für den Bogen am ganzen Umfang und für den Sektor an der ganzen Kreisfläche. Für den ganzen Kreis gelten U = 2\pi r = \pi d und A = \pi r^2, dabei ist r der Radius und d = 2r der Durchmesser. Multiplizierst du die passende ganze Kreisgröße mit dem Winkelanteil, erhältst du: b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi d A_s = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2
Merke: Erst den Winkelanteil bestimmen, dann mit Umfang für eine Bogenlänge oder mit Kreisfläche für eine Sektorfläche multiplizieren.
Teste dich
Gegeben sind der Winkel und der Radius oder der Durchmesser. Für die Bogenlänge passt je nach Angabe die Radius- oder die Durchmesserform. Für eine Fläche brauchst du immer den Radius: Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst. Mach danach den Plausibilitätscheck: Bei einem kleinen Winkelanteil muss auch das Ergebnis klein gegenüber dem ganzen Kreis sein.
Beispiel: Bogen für \alpha = 45^\circ und d = 16\,\mathrm{cm}
- 1Winkelanteil: \frac{45^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{8}
- 2b = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot 16\,\mathrm{cm} = 2\pi\,\mathrm{cm}
- 3b \approx 6{,}28\,\mathrm{cm}, ein Achtel des Umfangs
Beispiel: Sektor für \alpha = 45^\circ und d = 16\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r = 16\,\mathrm{cm} : 2 = 8\,\mathrm{cm}
- 2A_s = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot (8\,\mathrm{cm})^2 = 8\pi\,\mathrm{cm}^2
- 3A_s \approx 25{,}13\,\mathrm{cm}^2, die Quadrateinheit zeigt eine Fläche
Teste dich
Bei einer Umkehraufgabe ist der Bogen oder die Sektorfläche bekannt. Du setzt die Werte in dieselbe Grundformel ein und löst erst danach nach der gesuchten Größe auf. Ist A_s gegeben, entsteht beim Auflösen zunächst r^2. Dann ziehst du die positive Wurzel, weil ein Radius eine Länge ist. Prüfe zum Schluss vier Punkte: Radius statt Durchmesser in der Flächenformel? Umfang für b, Fläche für A_s? Winkel im Gradmaß, wenn du durch 360^\circ teilst? Einheit passend, also Länge oder Fläche?
Beispiel: Durchmesser aus \alpha = 45^\circ und b = 3\,\mathrm{cm}
- 13\,\mathrm{cm} = \frac{1}{8} \cdot \pi d
- 2Mal 8: 24\,\mathrm{cm} = \pi d
- 3Durch \pi: d = \frac{24}{\pi}\,\mathrm{cm} \approx 7{,}64\,\mathrm{cm}
- 4Probe: Umfang 24\,\mathrm{cm}, ein Achtel davon sind 3\,\mathrm{cm}
Beispiel: Radius aus \alpha = 45^\circ und A_s = 20\,\mathrm{cm}^2
- 120\,\mathrm{cm}^2 = \frac{1}{8} \cdot \pi r^2
- 2r^2 = \frac{160}{\pi}\,\mathrm{cm}^2
- 3r = \sqrt{\frac{160}{\pi}}\,\mathrm{cm} \approx 7{,}14\,\mathrm{cm}
- 4d = 2r \approx 14{,}27\,\mathrm{cm}
Merke: Die Formeln hier rechnen im Gradmaß mit dem Nenner 360^\circ. Gradmaß und Bogenmaß darfst du nicht unbemerkt mischen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kreissektor und Kreisbogen
Kreisbogen
Winkelanteil mal Umfang
Kreissektor
Winkelanteil mal Kreisfläche
Direkte Aufgabe
bekannte Werte einsetzen
Umkehraufgabe
Gleichung nach gesuchter Größe auflösen
Kontrolle
Anteil, Einheit und Plausibilität prüfen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Rasensprenger mit \alpha = 135^\circ und r = 8\,\mathrm{m}
- 1Winkelanteil: \frac{135^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{8}
- 2Rand des nassen Bereichs: b = \frac{3}{8} \cdot 2\pi \cdot 8\,\mathrm{m} = 6\pi\,\mathrm{m} \approx 18{,}85\,\mathrm{m}
- 3Bewässerte Fläche: A_s = \frac{3}{8} \cdot \pi \cdot (8\,\mathrm{m})^2 = 24\pi\,\mathrm{m}^2 \approx 75{,}40\,\mathrm{m}^2
- 4Check: Bogen in \mathrm{m}, Fläche in \mathrm{m}^2, beides drei Achtel des ganzen Kreises
Fehler finden
Sektorfläche für \alpha = 90^\circ und d = 12\,\mathrm{cm} In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Flächenformel braucht den Radius, nicht den Durchmesser: r = 6\,\mathrm{cm}. Richtig ist A_s = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot (6\,\mathrm{cm})^2 = 9\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx 28{,}27\,\mathrm{cm}^2.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Ein Kreisbogen ist eine . Für die Sektorfläche multiplizierst du den Winkelanteil mit der ganzen . Zu \alpha = 90^\circ gehört des Kreises.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback